Question

已知抛物线y=ax²+bx+3交x轴于点A（x₁，0）、B（-1，0）且x₁＞0，AO²+BO²=10，抛物线交y轴于点C，点D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）证明△ADC是直角三角形；
（3）第一象限内，在抛物线上是否存在一点E，使∠ECO=∠ACB？若存在，求出点E的坐标．

Answer

（1）首先根据抛物线y=ax2+bx+3交x轴于点A（x1，0）、B（-1，0），得出AO2+（-1）2=10，即可得出A点坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式；
（2）首先求出顶点坐标，再求出AD2=CD2+AC2，即可得出答案；
（3）首先得出Rt△BOC∽Rt△GAC，即可得出AG的长，再得出CG的解析式，求出直线与抛物线解析式交点即可．
（1）【解析】
∵抛物线y=ax2+bx+3交x轴于点A（x1，0）、B（-1，0）
∴AO2+（-1）2=10，
∴AO2=9，
∴AO=±3，∴A（3，0）
把A（3，0）、B（-1，0）代入y=ax2+bx+3得：

解得：，
∴抛物线的解析式：y=-x2+2x+3；

（2）证明：∵抛物线的解析式：
y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴顶点 D（1，4）
由（1）得：∴AC2=32+32=18，
CD2=2，AD2=20，
∴AD2=CD2+AC2，
∴△ADC是直角三角形．

（3）【解析】
过A作AG⊥AC交CE于G，过G作GH⊥x轴于H，
∵∠ECO=∠ACB，∴∠ECA=∠BCO，
∵∠COB=∠CAG，
∴Rt△BOC∽Rt△GAC，
∴，
∴=，
∴
由OC=OA，GH⊥x轴，
∴AH=GH，∴AH2+GH2=AG2
得AH=GH=1，
∴G点坐标为（4，1），
将C（0，3），G（4，1）代入y=kx+c得：
，
解得：
∴直线CG的解析式为：，
联立：与y=-x2+2x+3，
-x+3=-x2+2x+3，
解得：x1=，x2=0（与A点重合舍去），
x=时，y=，
∴E（）．