Question

如图（1），在平面直角坐标系中，矩形ABCO，B点坐标为（4，3），抛物线y=-x²+bx+c经过矩形ABCO的顶点B、C，D为BC的中点，直线AD与y轴交于E点，点F在直线AD上且横坐标为6．

（1）求该抛物线解析式并判断F点是否在该抛物线上；
（2）如图，动点P从点C出发，沿线段CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动；
同时，动点M从点A出发，沿线段AE以每秒个单位长度的速度向终点E运动．过点P作PH⊥OA，垂足为H，连接MP，MH．设点P的运动时间为t秒．
①问EP+PH+HF是否有最小值，如果有，求出t的值；如果没有，请说明理由．
②若△PMH是等腰三角形，求出此时t的值．

Answer

（1）根据矩形的性质得出A，C，D的坐标，进而得出抛物线解析式，再求出AD的解析式，再利用图象上点的性质得出即可；
（2）①首先得出P点位置，再求出FC的解析式，即可得出t的值；
②分别根据当PM=HM时，当PH=HM时，当PH=PM时求出即可．
【解析】
（1）∵矩形ABCO，B点坐标为（4，3），抛物线y=-x2+bx+c经过矩形ABCO的顶点B、C，D为BC的中点，
∴C点坐标为：（0，3），A点坐标为：（4，0），D点坐标为：（2，3），
将B，C点代入y=-x2+bx+c得：
，
解得：，
∴该抛物线解析式为：y=-x2+2x+3，
设过D，A的直线解析式为：y=ax+k，
则，
解得：，
∴直线AD的解析式为；y=-x+6，
∵点F在直线AD上且横坐标为6，
∴y=-×6+6=-3，
∴F点坐标为：（6，-3），将F点代入抛物线解析式得出：右边=-×36+12+3=-3，
∴F点在该抛物线上；

（2）①∵E（0，6），
∴CE=CO，
如图1，
连接CF交x轴于H′，过H′作x轴的垂线交BC于P′，
当P 运动到P′，当H运动到H′时，EP+PH+HF的值最小．
设直线CF的解析式为y=ax+b
∵C（0，3）、F（6，-3）
∴，
∴，
∴y=-x+3；
当y=0时，x=3，
∴H′（3，0）
∴CP=3，
∴t=3；
②如图2，过M作MN⊥OA交OA于N，
∵NM∥EO，
∴△AMN∽△AEO，
∴==，
∵EO=6，AO=4，
∴AE=2，
∴==，
∴AN=t，MN=t
I．如图2，当PM=HM时，M在PH的垂直平分线上，
∴MN=PH，
∴MN=t=，
∴解得：t=1
II．如图3，当PH=HM时，MH=3，MN=t，
HN=OA-AN-OH=4-2t，
 在Rt△HMN中，
MN2+HN2=MH2，
（t）2+（4-2t）2=32，
整理得：25t2-64t+28=0 
解得：t1=2（舍去），t2=，
III．如图4，如图5，当PH=PM时，PM=3，MT=|3-t|，
PT=BC-CP-BT=|4-2t|，
在Rt△PMT中，MT2+PT2=PM2，
（3-t）2+（4-2t）2=32，
整理得出：25t2-100t+64=0，
解得：t1=，t2=，
∴综上所述：t=，，1，．