Question

已知抛物线y=ax²+bx+c与y轴交于点A（0，3），与x轴交于（1，0）（5，0）两点，若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点E，再到达抛物线的对称轴上某点F，最后运动到点A，则使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标分别是：E    ，F    ．

Answer

作出草图，根据抛物线与x轴的交点求出对称轴为直线x=3，再求出点A关于对称轴的对称点A′，点M关于x轴的对称点M′，连接A′M′，根据轴对称确定最短路线问题，A′M′的长度为点P运动的总路径最短长度，然后利用待定系数法求出直线A′M′的解析式，令y=0求出点E的坐标，令x=3求出点F的坐标即可．
【解析】
如图，∵抛物线与x轴交于（1，0）（5，0）两点，
∴抛物线的对称轴为直线x==3，
∴点A（0，3）关于直线x=3的对称点A′为（6，3），
又∵OA的中点M为（0，），
∴点M关于x轴的对称点M′为（0，-），
连接A′M′与x轴的交点、与对称轴的交点即为所求的点E、F，
设直线A′M′的解析式为y=kx+b，
则，
解得，
所以，直线A′M′的解析式为y=x-，
令y=0，则x-=0，
解得x=2，
令x=3，则y=×3-=，
所以，点E（2，0），F（3，）．
故答案为：E（2，0）；（3，）．