Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC=3AD=3，∠B=45°．直角三角板含45°角的顶点E在边BC上移动，一直角边始终经过点A，斜边与CD所在的直线交于点F．若△ABE为等腰三角形，则CF的长等于    ．

Answer

过D作DH⊥BC于H，①当AE=BE时，根据等腰梯形的性质求出BE和CH，由勾股定理求出AB，进一步求出CE，根据等腰三角形的判定和三角形的内角和定理求出CF=EF，根据勾股定理求出即可；②当AB=AE时，由勾股定理求出BE，进一步求出CE，根据等腰三角形的判定和三角形的内角和定理求出EF=CE，由勾股定理求出CF即可；根据三角形的内角和定理求出∠AEB、∠FEC，进一步求出∠CFE=∠FEC，求出CF=CE即可．
【解析】
，过D作DH⊥BC于H，
∵BC=3AD=3，
∴AD=，
∴AB=2，
有三种情况：
，如图所示①：①当AE=BE时，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴BE=CH=（3-）=，
由勾股定理得：AB=2，
∴CE=BC-BE=3-=2，
∵∠B=∠BAE=45°，
∴∠AEB=90°，
∴∠FEC=180°-90°-45°=45°=∠C，
∴∠EFC=180°-45°-45°=90°，
∴由勾股定理得：CF=EF=2；
②如图②，当AB=AE=2时，
由勾股定理求得：BE=2，
∴CE=BC-BE=3-2=，
同理可得∠FEC=90°，∠EFC=45°=∠C，
由勾股定理得：CF===2；
③如图③，
如图当AB=BE=2时，
∵∠AEB=∠BAE=（180°-∠B）=67.5°，
∴∠FEC=180°-67.5°-45°=67.5°，
∵∠C=45°，
∴∠CFE=180°-∠C-∠FEC=67.5°=∠FEC，
∴CF=CE=BC-BE=3-2，
故答案为：3-2或2．