Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=-2x+42交x轴与点A，交直线y=x于点B，抛物线y=ax²-2x+c分别交线段AB、OB于点C、D，点C和点D的横坐标分别为16和4，点P在这条抛物线上．
（1）求点C、D的纵坐标．
（2）求a、c的值．
（3）若Q为线段OB上一点，且P、Q两点的纵坐标都为5，求线段PQ的长．
（4）若Q为线段OB或线段AB上的一点，PQ⊥x轴，设P、Q两点之间的距离为d（d＞0），点Q的横坐标为m，直接写出d随m的增大而减小时m的取值范围．

Answer

（1）点C在直线AB：y=-2x+42上，将C点的横坐标代入即可求出C点的纵坐标，同理可知：D点在直线OB：y=x上，将D点的横坐标代入解析式即可求出D点的纵坐标；
（2）抛物线y=ax2-2x+c经过C、D两点，列出关于a和c二元一次方程组，解出a和c即可；
（3）根据Q为线段OB上一点，P、Q两点的纵坐标都为5，则可以求出Q点的坐标，又知P点在抛物线上，求出P点的坐标，P、Q两点的横坐标的差的绝对值即为线段PQ的长；
（4）根据PQ⊥x轴，可知P和Q两点的横坐标相同，都为m，用含m的代数式分别表示P、Q两点的坐标，求出B点的坐标，分两种情况讨论：①Q是线段OB上的一点；②Q是线段AB上的一点．分别求出d与m之间的函数解析式，根据二次函数的性质，即可求出d随m的增大而减小时m的取值范围．
【解析】
（1）∵点C在直线AB：y=-2x+42上，且C点的横坐标为16，
∴y=-2×16+42=10，即点C的纵坐标为10；
∵D点在直线OB：y=x上，且D点的横坐标为4，
∴点D的纵坐标为4；

（2）由（1）知点C的坐标为（16，10），点D的坐标为（4，4），
∵抛物线y=ax2-2x+c经过C、D两点，
∴，
解得：．
∴抛物线的解析式为y=x2-2x+10；

（3）∵Q为线段OB上一点，纵坐标为5，
∴Q点的横坐标也为5，
∵点P在抛物线上，纵坐标为5，
∴x2-2x+10=5，
解得x1=8+2，x2=8-2．
当点P的坐标为（8+2，5），点Q的坐标为（5，5），线段PQ的长为2+3；
当点P的坐标为（8-2，5），点Q的坐标为（5，5），线段PQ的长为2-3．
所以线段PQ的长为2+3或2-3；

（4）∵PQ⊥x轴，
∴P、Q两点的横坐标相同，都为m，
∴P（m，m2-2m+10），Q（m，m）（此时Q在线段OB上）或Q（m，-2m+42）（此时Q在线段AB上）．
由，
解得．
∴点B的坐标为（14，14）．
①当点Q为线段OB上时，如图所示，
在OD段，即当0≤m＜4时，d=（m2-2m+10）-m=m2-3m+10=（m-12）2-8，d随m的增大而减小；
在BD段，即当4≤m≤14时，d=m-（m2-2m+10）=-m2+3m-10=-（m-12）2+8，
在对称轴右侧，d随m的增大而减小，即当12＜m≤14时，d随m的增大而减小．
则当0≤m＜4或12≤m≤14时，d随m的增大而减小；
②当点Q为线段AB上时，如图所示，
在BC段，即当14≤m＜16时，d=（-2m+42）-（m2-2m+10）=-m2+32，
在对称轴右侧，d随m的增大而减小，即当14≤m＜16时，d随m的增大而减小；
在CA段，即当16≤m≤21时，d=（m2-2m+10）-（-2m+42）=m2-32，
在对称轴左侧，d随m的增大而减小，m不满足条件．
综上所述，当0≤m＜4或12≤m＜16时，d随m的增大而减小．