Question

如图，AB是⊙O的直径，动弦CD垂直AB于点E，过点B作直线BF∥CD交AD的延长线于点F，若AB=10cm．
（1）求证：BF是⊙O的切线．
（2）若AD=8cm，求BE的长．
（3）若四边形CBFD为平行四边形，则四边形ACBD为何种四边形？并说明理由．

Answer

（1）欲证明BF是⊙O的切线，只需证明AB⊥BF即可；
（2）连接BD，在直角三角形ABD中，利用射影定理可以求得AE的长度，最后结合图形知BE=AB-AE；
（3）连接BC．四边形CBFD为平行四边形，则四边形ACBD是正方形．根据平行四边形的对边平行、平行线的性质、圆周角定理以及同弧所对的圆周角相等可以推知∠CAD=∠BDA=90°，即CD是⊙O的直径，然后由全等三角形的判定与性质推知AC=BD；根据正方形的判定定理证得四边形ACBD是正方形．
【解析】
（1）∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，BF∥CD，
∴BF⊥AB，
∵点B在圆上，
∴BF是⊙O的切线；

（2）如图1，连接BD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）；
又∵DE⊥AB
∴AD2=AE•AB；
∵AD=8cm，AB=10cm，
AE=6.4cm，
∴BE=AB-AE=3.6cm；

（3）连接BC．
四边形CBFD为平行四边形，则四边形ACBD是正方形．理由如下：
∵四边形CBFD为平行四边形，
∴BC∥FD，即BC∥AD；
∴∠BCD=∠ADC（两直线平行，内错角相等），
∵∠BCD=∠BAD，∠CAB=∠CDB，（同弧所对的圆周角相等），
∴∠CAB+∠BAD=∠CDB+∠ADC，即∠CAD=∠BDA；
又∵∠BDA=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴∠CAD=∠BDA=90°，
∴CD是⊙O的直径，即点E与点O重合（或线段CD过圆心O），如图2，
在△OBC和△ODA中，
∵，
∴△OBC≌△ODA（SAS），
∴BC=DA（全等三角形的对应边相等），
∴四边形ACBD是平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）；
∵∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），AC=AD，
∴四边形ACBD是正方形．