Question

如图，AB是⊙O的直径，OD⊥AC，垂足为D．AC交⊙O于E，∠AOD=∠C
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）求证：AD•AC=2OA²；
（3）若AE=8，tanA=，求CE的长．

Answer

（1）根据三角形内角和定理可以证明∠ABC=∠ADO=90°，即AB⊥BC，则BC是圆的切线；
（2）首先证明△AOD∽△ACB，利用相似三角形的对应边的比相等即可证得；
（3）在直角△BAE中利用三角函数求得BE的长，进而利用勾股定理求得AB的长，然后在直角△ABC中利用三角函数求得BC的长，利用勾股定理求得AC的长，根据EC=AC-AE即可求解．
证明：（1）∵OD⊥AC，
∴∠ADO=90°，
∵在△AOD和△ACB中，∠A=∠A，∠AOD=∠C，
∴∠ABC=∠ADO=90°，即AB⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；

（2）∵在△AOD和△ACB中，∠A=∠A，∠AOD=∠C，
∴△AOD∽△ACB，
∴=，即=，
∴AD•AC=2OA2；

（3）∵在直角△ABE中，tanA==，
∴BE=AE×=8×=6，
则AB===10，
又∵在直角△ABC中，tanA==，
∴BC=AB=×10=，
AC===，
∴EC=AC-AE=-8=．