Question

已知：如图，AB是⊙O的直径，以B为圆心的圆交OB于C，交⊙O于E、F，交AB的延长线于D，连接EC并延长交⊙O于G，
（1）求证：AE是⊙B的切线；
（2）求证：EG平分∠AEF；
（3）若M为AO上一点，且GM∥BE，求证：GM等于⊙O的半径．

Answer

（1）要证明AE是⊙B的切线，只要证明AE⊥BE即可，可以通过角之间的关系求得∠CEF=∠AEC即EG平分∠AEF．
（2）要证明GM等于⊙O的半径，可以先连接OG，再根据角之间的关系从而得到∠MOG=∠OMG，根据等角对等边即可得到GM=GO即GM等于⊙O的半径．
证明：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
即AE⊥BE，
又∵BE是⊙B的半径，
∴AE是⊙B的切线．

（2）连接CF；
∵AE是⊙B的切线，
∴∠CFE=∠AEC；
∵EF是公共弦，O、B为圆心，
∴OB平分EF，
∴弧EC=弧CF，
∴∠CFE=∠CEF=∠AEC，即EG平分∠AEF；

（3）连接OG；
∵MG∥BE，
∴∠BMG=∠MBE；
∵∠AEB=90°，且AB⊥EF，
∴∠AEF=∠MBE，
∴∠MOG=2∠AEG=∠AEF=∠MBE=∠OMG，
∵GM=GO，
∴GM等于⊙O的半径．