Question

为了美化环境，计划将一个边长为4米的正方形草地ABCD分成如图所示的五块，其中四边形EFGH为正方形，若AE的长为x米．正方形EFGH的面积为S平方米．
（1）请直接写出S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）根据（1）中的函数关系式，计算当x为何值时S最小，并求出S最小值．

Answer

（1）先由AAS证明△AEF≌△DHE，得出AE=DH=x米，AF=DE=（4-x）米，再根据勾股定理，求出EF2，即可得到S与x之间的函数关系式；
（2）先将（1）中求得的函数关系式运用配方法写成顶点式，再根据二次函数的性质即可求解．
【解析】
∵四边形ABCD是边长为4米的正方形，
∴∠A=∠D=90°，AD=4米．
∵四边形EFGH为正方形，
∴∠FEH=90°，EF=EH．
在△AEF与△DHE中，
∵，
∴△AEF≌△DHE（AAS），
∴AE=DH=x米，AF=DE=（4-x）米，
∴S=EF2=AE2+AF2=x2+（4-x）2=2x2-8x+16，
即S=2x2-8x+16；

（2）∵S=2x2-8x+16=2（x2-4x）+16=2（x-2）2+8，
∴当x=2时，S有最小值8．
故当x为2时S最小，最小值是8．