Question

平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y=x+12分别与x轴、y轴交于点A、B，经过点B直线y=kx+12交x轴于点C，且AB=AC．
（1）求直线BC的解析式；
（2）点P从点C出发沿线段C0以每秒1个单位长度向终点0运动；过点P作y轴的平行线交直线BC于点Q，交直线AB于点M，过点Q作QN⊥AB交直线AB予点N．设线段MN的长为d（d≠O），运动时间为t（秒），求d与时间t（秒）的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
（3）在（2）的条件下，经过点A、N、Q三点的圆与直线BC交于另一点K，AQ为何值时，KQ：AQ=：10？

Answer

（1）对于直线y=x+12，令y=0，求出x的值，即为A的横坐标；令x=0，求出y的值，即为B的纵坐标，进而得出OA与OB的长，在直角三角形AOB中，利用勾股定理求出AB的长，由AB=AC，得出AC的长，再由OC=AC-OA求出OC的长，确定出C的坐标，设直线BC解析式为y=kx+b（k≠0），将B和C的坐标代入得到关于k与b的方程组，求出方程组的解得到k与b的值，即可得到直线BC的解析式；
（2）根据题意画出相应的图形，如图1所示，可得出PC=t，由OC-PC表示出OP，即为P的横坐标，再由PQ平行与y轴，即垂直于x轴，得到Q、M的横坐标与P横坐标相同，将M的横坐标代入直线AB的解析式中，求出对应的y值，即为PM的长，将Q的横坐标代入直线BC解析式中，求出对应的y值，即为PQ的长，由PM-PQ表示出MQ的长，利用同角的余角相等得到∠MQN=∠MAP=∠BAO，在直角三角形ABO中，求出sin∠BAO=，在直角三角形MNQ中，利用MQ•sin∠MQN表示出MN的长，即为d关于t的函数关系式，由OC=6，P从点C出发沿线段C0以每秒1个单位长度向终点0运动，可得出t的范围；
（3）在图1中画出经过点A、N、Q三点的圆，如图2所示，连接AK，AQ，由∠ANQ=90°，根据90度圆周角所对的弦为直径，可得出AQ为经过A、N、Q三点的直径，再利用直径所对的圆周角为直角得到∠AKQ=90°，在三角形BOC中，由OB与OC的长，利用勾股定理求出BC的长，再由OB及AC的长，利用面积法求出AK的长，由KQ与AQ的比值，设出KQ与AQ，在Rt△AKQ中，根据勾股定理列出方程，求出方程的解得到AQ的长．
【解析】
（1）对于直线y=x+12，令y=0，解得：x=-9；令x=0，解得：y=12，
∴A（-9，0），B（0，12），
∴AO=9，BO=12，
在Rt△AOB中，根据勾股定理得：AB==15，
∵AB=AC，
∴AC=AB=15，
∴OC=AC-OA=15-9=6，
∴C（6，0），
设直线BC解析式为y=kx+b（k≠0），
将B和C坐标代入得：，
解得：，
则直线BC解析式为y=-2x+12；

（2）由题意得：PC=t，OC=6，则OP=OC-PC=6-t，
∴点P的横坐标为6-t，
又直线PQ⊥x轴，
∴点Q、M的横坐标为6-t，
将x=6-t代入直线y=x+12，得：y=（6-t）+12，
∴PM=（6-t）+12=20-t，
将x=6-t代入y=-2x+12，得：y=-2（6-t）+12=2t，
∴MQ=PM-PQ=20-t-2t=20-t，
∵∠AMP+∠MAP=∠AMP+∠MQN=90°，
∴∠MQN=∠MAP=∠BAO，
∵在Rt△ABO中，sin∠BAO=，
∴在Rt△MNQ中，MN=MQ•sin∠MQN=16-t，
∴d=-t+16（0≤t＜6）；
（3）如图，连接AK，AQ，
∵∠ANQ=90°，
∴AQ为经过A、N、Q三点的直径，
∴∠AKQ=90°，
在Rt△BOC中，OC=6，OB=12，
根据勾股定理得：BC==6，又AC=15，
∴S△ABC=AC•OB=BC•AK，即15×12=6AK，
解得：AK=6，
∵KQ：AQ=：10，则设KQ=m，AQ=m，
在Rt△AKQ中，根据勾股定理得：AK2+KQ2=AQ2，
即（6）2+m2=（m）2，
解得：m=2或m=-2（舍去），
则AQ=×2=10．