Question

在△ABC中，∠ACB=2∠BAC，点E在AC上，连接BE，且AE=BE，CD平分∠ACB交AB于点D，连接DE．
（1）（如图1），求证：BD=ED；
（2）设线段CD、BE相交于点P，将∠CAB沿直线AC翻折得到∠CAB′（如图2），射线AB′交BE延长线于点Q，连接CQ，若DE：BC=2：3，S_{四边形ADPQ}=，求∠ACQ的正切值．

Answer

（1）根据条件CD平分∠ACB可以得出∠ACB=2∠ACD=2∠BCD从而得出∠ACD=∠BCD=∠A=∠ABE，最后通过证明△ADE≌△CDB就可以得出结论；
（2）由DE：BC=2：3，设DE=4k，BC=6k，可以得出AE=BE=BC=6k，从而可以得出∠DBE=∠EBA，就有△BDE∽△BEA，由相似三角形的性质就可以表示出AB=9k，AD=CD=5k，再由∠DBP=∠BCD，∠BDP=∠CDB，可以得出△BDP∽△CDB，从而求出BP=k，PD=k．过点D作DF⊥BE于F，根据勾股定理可以求出DF的值，可以表示出sin∠FBD=，cos∠QAC==．进而求得S△PBD的值，再由条件可以证明△PBD∽△QBA，求出S△PBD：S△QBA的比值，由其条件建立方程求出k的值，过Q作QH⊥AC于H，在Rt△AHQ中，HQ=AQ•sin∠QAC=，AH=AQ•cos∠QAC=，通过△ADC∽△AEB就可以得出CH的值，从而就可以求出
∠ACQ的正切值．
（1）证明：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB=2∠ACD=2∠BCD．
∵AE=BE，
∴∠A=∠ABE．
∵∠ACB=2∠A，
∴∠ACD=∠BCD=∠A=∠ABE
∴AD=CD．
∵∠BEC=∠A+∠ABE=2∠A=2∠ACD，
∴∠BEC=∠ACB，
∴BC=BE，BC=AE，
∵在△ADE和△CDB中，
，
∴△ADE≌△CDB（SAS），
∴DE=DB，即BD=ED．

（2）【解析】
∵DE：BC=2：3，设DE=4k，BC=6k，
∴AE=BE=BC=6k．
∵BD=ED，
∴∠DEB=∠DBE，
∴∠EAB=∠DEB．
∵∠DBE=∠EBA，
∴△BDE∽△BEA，
∴，
∴，
∴AB=9k．
∴AD=CD=5k．
∵∠DBP=∠BCD，∠BDP=∠CDB，
∴△BDP∽△CDB，
∴，
∴，
∴BP=k，PD=k．
过点D作DF⊥BE于F，
∵BD=ED，DF⊥BE，
∴BF=EF=BE=3k．
∴在Rt△BFD中，DF==k，
∴sin∠FBD=，cos∠QAC==．
∵∠QAC=∠BAC=∠FBD，
∴sin∠QAC==，cos∠QAC=，
∴S△PBD=BP•DF=×=．
∵∠QAC=∠BAC，
∴∠QAC=∠ACB，
∴PD∥AQ，
∴△PBD∽△QBA，
∴S△PBD：S△QBA=BD2：BA2=（4k）2：（9k）2=16：81，．
∴S四边形ADPQ=S△QBA-S△PBD=
∴S△PBD：S四边形ADPQ=16：65，AQ=k，
∴，
∴k=1，k=-1（舍去）
∴AQ=．
过Q作QH⊥AC于H，
∴在Rt△AHQ中，HQ=AQ•sin∠QAC=，AH=AQ•cos∠QAC=，．
∵∠ACD=∠ABE，∠CAD=∠BAE，∴△ADC∽△AEB，
∴，
∴，
∴AC=k=，
∴CH=AC-AH=，
∴在Rt△CHQ中，tan∠ACQ=．