Question

已知：抛物线y=ax²+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于点A（x₁，0），b（x₂，0）（x₁＜x₂），顶点M的纵坐标是-4．若x₁，x₂是方程x²-2（m-1）+m²-7=0的两个实数根，且x₁²+x₂²=10．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积等于四边形ACMB的面积的2倍？若存在，求出所有合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据韦达定理可得出A、B两点横坐标的和与积，联立x12+x22=10，可求出m的值，进而可求出A、B的坐标．
（2）根据A、B的坐标，可得出抛物线的对称轴的解析式，即可求出其顶点M的坐标，根据得出的A、B、M三点的坐标，即可用待定系数法求出抛物线的解析式．
（3）可先求出四边形ACMB的面积（由于四边形ACMB不规则，因此其面积可用分割法进行求解）．然后根据ACMB的面求出P点的纵坐标的绝对值，将其代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标．
【解析】
（1）∵若x1，x2是方程x2-2（m-1）+m2-7=0的两个实数根，
由题意得：x1+x2═-=2（m-1），x1x2==m2-7．
∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=4（m-1）2-2（m2-7）=10，
化简，得m2-4m+4=0，
解得m=2．
且当m=2时，△=4-4×（-3）＞0，符合题意．
∴原方程可写成：x2-2x-3=0，
∵x1＜x2，
∴x1=-1，x2=3；
∴A（-1，0），B（3，0）；

（2）已知：A（-1，0），B（3，0），
∴抛物线的对称轴为x=1，
因此抛物线的顶点坐标为（1，-4）．
设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），则有：
-4=a（1+1）（1-3），a=1；
∴y=（x-3）（x+1）=x2-2x-3；

（3）S四边形ACMB=S△AOC+S梯形OCMN+S△NBM=OA•OC+（OC+MN）•ON+NB•MN，
=×1×3+×（3+4）×1+×2×4=9．
假设存在P（x，y）使得S△PAB=2S四边形ACMB=18，
即：AB|y|=18，×4×|y|=18，
∴y=±9；
当y=9时，x2-2x-3=9，解得x=1-，x=1+；
当y=-9时，x2-2x-3=-9，此方程无实数根．
∴存在符合条件的P点，且坐标为（1-，9），（1+，9）．