(1)欲证BC是⊙O的切线,只需证明∠ABC=90°即可;
(2)如图,连接BE,BF,构建Rt△AEB和Rt△AFB.利用圆周角定理(同弧所对的圆周角相等)、等量代换以及切线的性质推知所求的∠F与已知∠C的数量关系sin∠AFE=sin∠ABE=sinC;然后利用锐角三角函数的定义可以求得sinF的值和AF的长.
【解析】
(1)证明:∵DA=DB(已知),
∴∠DAB=∠DBA(等边对等角);
又∵∠C=∠DBC(已知),
∴∠DBA﹢∠DBC=(∠DAB+∠DBA+∠C+∠DBC)=×180°=90°(三角形内角和定理),即∠ABC=90°,
∴AB⊥BC,
又∵点B在⊙O上,
∴BC是⊙O的切线;
(2)如图,连接BE,BF.
∵AB是⊙O的直径(已知),
∴∠AEB=90°(直径所对的圆周角是直角),
∴∠EBC+∠C=90°(直角三角形的两个锐角互余),
∵∠ABC=90°(由(1)知),
∴∠ABE+∠EBC=90°,
∴∠C=∠ABE(等量代换);
又∵∠AFE=∠ABE(同弧所对的圆周角相等),
∴∠AFE=∠C(等量代换),
∴sin∠AFE=sin∠ABE=sinC,
∴sin∠AFE=,
∴∠AFB=90°,
在Rt△ABE中,AB==5
∵AF=BF(已知),
∴AF=BF=5.