Question

如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C坐标为（-1，0），tan∠ACO=2．一次函数y=kx+b的图象经过点B、C，反比例函数y=的图象经过点B．
（1）求一次函数和反比例函数的关系式；
（2）直接写出当x＜0时，kx+b-＜0的解集；
（3）在x轴上找一点M，使得AM+BM的值最小，并求出点M的坐标和AM+BM的最小值．

Answer

（1）在Rt△AOC中求出AC的长度，然后求出sin∠CAO的值，过点B作BF⊥x轴于点F，由∠BCF=∠CAO，可求出BF，继而得出FC，从而求得点B的坐标，利用待定系数法可求出一次函数和反比例函数的关系式；
（2）不等式的含义为：当x＜0时，求出一次函数值y=kx+b小于反比例函数y=的x的取值范围，结合图形即可直接写出答案．
（3）根据轴对称的性质，找到点A关于x的对称点A'，连接BA'，则BA'与x轴的交点即为点M的位置，求出直线BA'的解析式，可得出点M的坐标，根据B、A'的坐标可求出AM+BM的最小值．
【解析】
（1）过点B作BF⊥x轴于点F，

在Rt△AOC中，AC==，则sin∠CAO==，
∵∠BCA=90°，
∴∠BCF+∠ACO=90°，
又∵∠CAO+∠ACO=90°，
∴∠BCF=∠CAO，
∴sin∠BCF=sin∠CAO==，
∴BF=1，
∴CF==2，
∴点B的坐标为（-3，1），
将点B的坐标代入反比例函数解析式可得：1=，
解得：k=-3，
故可得反比例函数解析式为y=-；
将点B、C的坐标代入一次函数解析式可得：，
解得：．
故可得一次函数解析式为y=-x-．

（2）结合点B的坐标及图象，可得当x＜0时，kx+b-＜0的解集为：-3＜x＜0；

（3）作点A关于x轴的对称点A′，连接 B A′与x轴 的交点即为点M，

设直线BA'的解析式为y=ax+b，将点A'及点B的坐标代入可得：，
解得：．
故直线BA'的解析式为y=-x-2，
令y=0，可得-x-2=0，
解得：x=-2，
故点M 的坐标为（-2，0），
AM+BM=BM+MA′=BA′==3．
综上可得：点M的坐标为（-2，0），AM+BM的最小值为3．