Question

已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+2x经过点A（4，0），顶点为B．
（1）求顶点B的坐标；
（2）将这条抛物线向左平移后与y轴相交于点C，此时点A移动到点D的位置，且∠DBA=∠CBO，求平移后抛物线的表达式．

Answer

（1）把点A（4，0）代入抛物线y=ax2+2x可求出a的值，进而可得出抛物线的表达式，把抛物线的表达式化为顶点坐标的形式即可得出B点坐标；
（2）设平移后抛物线的表达式为y=-x2+bx+c．由点B的坐标为（2，2）可得AB=OB，∠BAD=∠BOC=45°．再由全等三角形的判定定理可得出△ABD≌△OBC，故AD=OC，即平移的距离为c，所以点D的坐标为（4-c，0），所以0=-（4-c）2+b（4-c）+c，故平移后抛物线的对称轴为x=b，即b=2-c，代入抛物线的解析式即可求出c的值，故可得出结论．
【解析】
（1）∵抛物线y=ax2+2x经过点A（4，0），
∴0=16a+8．
∴a=-，
∴抛物线的表达式为y=-x2+2x，
∴y=-x2+2x=-（x2-4x+22-4）=-（x-2）2+2．
顶点B的坐标为（2，2）；

（2）解法一：设平移后抛物线的表达式为y=-x2+bx+c．
∵点B的坐标为（2，2），
∴AB=OB=2，∠BAD=∠BOC=45°．
又∵∠DBA=∠CBO，
∴△ABD≌△OBC．
∴AD=OC，即平移的距离为c．
∴点D的坐标为（4-c，0）．
∴0=-（4-c）2+b（4-c）+c．
又∵平移后抛物线的对称轴为x=b．
∴b=2-c．
∴0=-（4-c）2+（2-c）（4-c）+c．．
解得c=2或c=0（不符合题意，舍去）．
∴平移后抛物线的表达式为y=-x2+2．
解法二：∵原抛物线表达式为y=-x（x-4），
∴设平移后抛物线表达式为y=-（x+m）（x-4+m）（m＞0，向左平移的距离）．
即y=-x2-（m-2）x-m2+2m．
∵B的坐标为（2，2），
∵AB=OB=2，∠BAD=∠BOC=45°，
又∵∠DBA=∠CBO，
∴△ABD≌△OBC．
∴AD=OC，即m=-m2+2m．解得m=2或m=0（不符合题意，舍去）．
∴平移后抛物线的表达式为：y=-x2+2．