Question

已知：点A、B都在半径为9的圆O上，P是射线OA上一点，以PB为半径的圆P与圆O相交的另一个交点为C，直线OB与圆P相交的另一个交点为D，
（1）求：公共弦BC的长度；
（2）如图，当点D在线段OB的延长线上时，设AP=x，BD=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）如果直线PD与射线CB相交于点E，且△BDE与△BPE相似，求线段AP的长．

Answer

（1）先求出OP⊥BC，且BH=CH，再根据OB=9，cos∠AOB=，求出OH，BH=3，即可求出BC；
（2）作PM⊥BD，垂足为点M．得BM=DM=y，根据cos∠AOB==，得出=，通过计算得出y关于x的函数解析式为y=x-6，定义域为x．
（3）（i）当点P在OA的延长线上时，根据△BDE与△BPE相似，∠DBE=∠BPE，根据∠DBE=∠OBH，得出∠OPM=∠OBH，∠BPE=∠OPM，而∠BPM=∠DPM，则∠OPB=∠BPM=∠DPM，BM=BH，即BD=BC，再列出方程x-6=6，解得x=，即可得出AP=；
（ii）当点P在线段OA上时，作PN⊥BD，垂足为点N．根据△BDE与△BPE相似，得出∠BDE=∠PBE，根据∠BDP=∠DBP．得出∠PBE=∠DBP，PH=PN，BD=BC．，再根据BN=DN，ON=9-BD，得出cos∠AOB==，整理，得BD=AP+6，AP+6=6，解得AP=-．
【解析】
（1）∵圆O与圆P相交于点B、C，
∴OP⊥BC，垂足为点H，且BH=CH，
∵OB=9，cos∠AOB=，
∴OH=6，
∴BH=3，
∴BC=6；

（2）作PM⊥BD，垂足为点M．
由垂径定理，得BM=DM=y，
∴cos∠AOB==，即=，
∴y关于x的函数解析式为y=x-6，
定义域为x．

（3）（i）当点P在OA的延长线上时，
∵△BDE与△BPE相似，
∴∠DBE=∠BPE，
∵∠DBE=∠OBH，∠OPM=∠OBH，
∴∠BPE=∠OPM，
而∠BPM=∠DPM，
∴∠OPB=∠BPM=∠DPM，
∴BM=BH，即BD=BC，
∴x-6=6，
解得x=，即AP=；
（ii）当点P在线段OA上时，
作PN⊥BD，垂足为点N．
∵△BDE与△BPE相似，
∴∠BDE=∠PBE，
∵PD=PB，
∴∠BDP=∠DBP．
∴∠PBE=∠DBP．
∴PH=PN．
∴BD=BC． 
∵BN=DN，∴ON=9-BD，
∴cos∠AOB==，
整理，得BD=AP+6，
∴AP+6=6，
解得AP=-，
综上所述，线段AP的长为或-．