Question

已知：如图，△ABC内接于⊙O，P为⊙O外一点，作∠CPD=∠A，使PD交⊙O于D、E两点，并与AB、AC分别交于点M、N．
（1）求证：DN•NE=MN•NP．
（2）若PD∥CB，求证：PC是⊙O的切线．

Answer

（1）由题目所给的条件可知：∠ANM=∠PNC，∠CPD=∠A，所以△ANM∽△PNC，由相似三角形的性质可知：，即AN•NC=MN•NP；
（2）由（1）知△ANM∽△PNC，所以∠PCA=∠AMP，又因为PD∥BC，所以∠AMP=∠ABC，所以∠PCA=∠ABC，再证明∠PCG=90°即可证明PC是⊙O的切线．
（1）证明：在△ANM和△PNC中，∠ANM=∠PNC，∠CPD=∠A，
∴△ANM∽△PNC，
∴，
即AN•NC=MN•NP；

（2）证明：由（1）知△ANM∽△PNC，
∴∠PCA=∠AMP，
又∵PD∥BC，
∴∠AMP=∠ABC，
∴∠PCA=∠ABC，
则∠GBC=90°，且∠ACG=∠ABG
∴∠PCA+∠ACG=∠ABC+∠ABG=∠GBC=90°
∴∠PCG=90°，
∵CG为⊙O的直径，
∴PC是⊙O的切线．