Question

已知：如图，⊙O₁与⊙O₂外切于点P，A为⊙O₁上一点，直线AC切⊙O₂于点C，且交⊙O₁于点B，AP的延长线交⊙O₂于点D．
（1）求证：∠BPC=∠CPD；
（2）若⊙O₁半径是⊙O₂半径的2倍，PD=10，AB=，求PC的长．

Answer

（1）根据弦切角定理得出∠PAB=∠BPE，利用切线长定理得出EP=EC，再利用三角形的外角性质得出∠CPD=∠EPC+∠BPE，即可得出答案；
（2）首先得出△O1PA∽△O2DP，求出AP的长，进而得出BC的长，再利用△DPC∽△CPB，△APC∽△ACD，即可得出PC，CD的关系即可得出PC的长．
（1）证明：如图1，过点P作两圆的公切线PE，交BC于点E，
∵⊙O1与⊙O2外切于点P，直线AC切⊙O2于点C，
∴EP=EC，∠PAB=∠BPE，
∴∠ECP=∠EPC，
又∵∠PAC+∠ACP=∠CPD，
∴∠CPD=∠EPC+∠BPE，
∴∠BPC=∠CPD；

（2）【解析】
如图2，连接O1O2，AO1，DO2，CD，
∵∠O1PA=∠O1AP，∠O2DP=∠O2PD，∠O1PA=∠O2PD，
∴∠O1PA=∠O1AP=∠O2DP=∠O2PD，
∴△O1PA∽△O2DP，
∴==，
∵PD=10，
∴AP=20，
∵直线AC切⊙O2于点C，
∴AC2=AP×AD=（20+10）×20=600，
∴AC=10，
∵AB=7，
∴BC=3，
∵直线AC切⊙O2于点C，
∴∠PDC=∠PCB，
∵∠PDC=∠BPC，
∴△DPC∽△CPB，
∴=，
∴=，
∵∠CAP=∠DAC，∠PCA=∠CDA，
∴△APC∽△ACD，
∴===，
∴CD=PC，
∴=，
解得：PC=2．