Question

如图，一次函数y=-4x-4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线y=x²+bx+c的图象经过A、C两点，且与x轴交于点B．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设抛物线的顶点为D，求四边形ABDC的面积；
（3）作直线MN平行于x轴，分别交线段AC、BC于点M、N．问在x轴上是否存在点P，使得△PMN是等腰直角三角形？如果存在，求出所有满足条件的P点的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）求出A和C点的坐标，并将其代入抛物线的解析式，即可求出；
（2）S四边形ABDC=S△EDB-S△ECA，通过求D、B和E点的坐标，根据三角形的面积公式，求出S△EDB和S△ECA．
（3）分三种情况进行讨论：①∠PMN=90°，②∠PNM=90°，③∠MPN=90°．
【解析】
（1）∵一次函数y=-4x-4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，
∴A （-1，0）C （0，-4），
把A （-1，0）C （0，-4）代入y=x2+bx+c得
∴，解得，
∴y=x2-x-4；

（2）∵y=x2-x-4=（ x-1）2-，
∴顶点为D（1，-），
设直线DC交x轴于点E，
由D（1，-）C （0，-4），
易求直线CD的解析式为y=-x-4，
易求E（-3，0），B（3，0），
S△EDB=×6×=16，
S△ECA=×2×4=4，
S四边形ABDC=S△EDB-S△ECA=12；
（3）设M、N的纵坐标为a，
由B和C点的坐标可知BC所在直线的解析式为：y=，
则M（，a），N（，a），
①当∠PMN=90°，MN=a+4，PM=-a，因为是等腰直角三角形，则-a=a+4 则a=-2 则P的横坐标为-，
即P点坐标为（-，0）；
②当∠PNM=90°，PN=MN，同上，a=-2，则P的横坐标为=，
即P点坐标为（，0）；
③当∠MPN=90°，作MN的中点Q，连接PQ，则PQ=-a，
又PM=PN，∴PQ⊥MN，则MN=2PQ，即：a+4=-2a，
解得：a=-，
点P的横坐标为：==，
即P点的坐标为（，0）．