Question

如图，在△ABC中，BD为高，BD=8cm，CD=4cm，AD=6cm，点M、N分别为AC和AB上的动点，点M以2cm/s的速度自C向A方向作匀速运动，点N以每秒5cm/s的速度自A向B沿射线AB方向作匀速运动，MN交BD于点P． M、N两点同时运动，当点M运动到点A时，M、N两点停止运动，设运动的时间为t（s）．
（1）求线段AB的长；
（2）当t=1（s）时，求的值；
（3）当t为何值时，△BNP是等腰三角形？

Answer

（1）由△ABC中，BD为高，BD=8cm，AD=6cm，根据勾股定理的知识，即可求得AB的值；
（2）过点N作NH⊥x轴于点H，可得当t=1（s）时，AN=5，得：AH=3，CM=2，由PD∥NH，根据平行线分线段成比例定理，即可求得的值；
（3）由）=，即可求得PD=t，PB=8-t．然后分别从当点M在CD上时与当点M在DA上时去分析，即可求得答案，小心别漏解．
【解析】
（1）∵△ABC中，BD为高，BD=8cm，AD=6cm，
∴AB2=BD2+AD2=100．
∴AB=10cm．（2分）

（2）过点N作NH⊥x轴于点H，（3分）
当t=1（s）时，AN=5，得：AH=3，CM=2，
∴DH=6-3=3，DM=4-2=2，
∴MH=10-3-2=5，
∵PD∥NH，
∴==（5分）

（3）∵=，PD=NH=×4t，
∴PD=t，PB=8-t．
①当点M在CD上时，BN=10-5t，
（ⅰ）当PB=NB时，8-t=10-5t，t=．（6分）
（ⅱ）当PB=PN时，则∠PNB=∠PBN，∵∠PNB＞∠BAC＞∠PBN，矛盾∴不成立（7分）
（ⅲ）当NB=NP时，过点N作NG⊥BD轴于点G，则BG=PG=BP=4-t，
∵GN∥DA，
∴=．
∴=，t=．（9分）
②当点M在DA上时，BN=5t-10，
（ⅰ）BP=BN，8-t=5t-10，t=．（10分）
（ⅱ）PB=PN或NB=NP，∵∠PBN＞90°，∴不成立．（11分）
∴当t=或t=或t=时，△BNP是等腰三角形．