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如图1,已知在⊙O中,点C为劣弧AB上的中点,连接AC并延长至D,使CD=CA,...

如图1,已知在⊙O中,点C为劣弧AB上的中点,连接AC并延长至D,使CD=CA,连接DB并延长DB交⊙O于点E,连接AE.
(1)求证:AE是⊙O的直径;
(2)如图2,连接EC,⊙O半径为5,AC的长为4,求阴影部分的面积之和.(结果保留π与根号)
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(1)连接CB,AB,CE,由点C为劣弧AB上的中点,可得出CB=CA,再根据CD=CA,得△ABD为直角三角形,可得出∠ABE为直角,根据90度的圆周角所对的弦为直径,从而证出AE是⊙O的直径; (2)由(1)得△ACE为直角三角形,根据勾股定理得出CE的长,阴影部分的面积等于半圆面积减去三角形ACE的面积. (1)证明:连接CB,AB,CE, ∵点C为劣弧AB上的中点, ∴CB=CA, 又∵CD=CA, ∴AC=CD=BC, ∴∠ABC=∠BAC,∠DBC=∠D, ∴∠ABD=90°, ∴∠ABE=90°, 即弧AE的度数是180°, ∴AE是⊙O的直径; (2)【解析】 ∵AE是⊙O的直径, ∴∠ACE=90°, ∵AE=10,AC=4, ∴根据勾股定理得:CE=2, ∴S阴影=S半圆-S△ACE=12.5π-×4×2=12.5π-4.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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