Question

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P是反比例函数y=（x＞0）图象上的任意一点，以P为圆心，PO为半径的圆与x、y轴分别交于点A、B．
（1）判断P是否在线段AB上，并说明理由；
（2）求△AOB的面积．

Answer

（1）由P在⊙O上，而∠AOB=90°，根据圆周角定义的推论得AB是⊙P的直径，即可得到点P在线段AB上；
（2）过点P作PP1⊥x轴，PP2⊥y轴，设P（a，b），由P点为圆心可得PP1、PP2是△AOB的中位线，则S△AOB=OA×OB=×2PP1×2PP2=2ab，再根据P点在反比例函数y=（x＞0）图象上的点得到ab=6，把ab=6代入即可得到△AOB的面积．
【解析】
（1）点P在线段AB上．理由如下：
∵PO为半径，
∴点O在⊙P上，
而∠AOB=90°，
∴AB是⊙P的直径，
∴点P在线段AB上；

（2）过点P作PP1⊥x轴，PP2⊥y轴，设P（a，b），如图，
由题意可知PP1、PP2是△AOB的中位线，
∴S△AOB=OA×OB=×2PP1×2PP2=2ab，
∵P是反比例函数y=（x＞0）图象上的任意一点，
∴ab=6，
∴S△AOB=2×6=12．