Question

如图，抛物线y=-x²-x+交x轴于A、B两点，交y轴于C点，顶点为D．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）把△ABC绕AB的中点M旋转180°，得四边形AEBC，求点E的坐标，并判四边形AEBC的形状，并说明理由；
（3）在直线BC上是否存在一点P，使得△PAD周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在请说明理由．

Answer

（1）分别令x=0以及y=0求出A、B、C三点的坐标．
（2）依题意得出BC∥AE，又已知A、B、C的坐标易求出点E的坐标，又因为四边形AEBC是平行四边形且∠ACB=90°可得四边形AEBC是矩形．
（3）作点A关于BC的对称点A′，连接A′D与直线BC交于点P．则可得点P是使△PAD周长最小的点，然后求出直线A′D，直线BC的函数解析式联立方程求出点P的坐标．
【解析】
（1）y=-x2-x+，
令x=0，得y=，
令y=0，
即-x2-x+=0，
即x2+2x-3=0，
∴x1=1，x2=-3
∴A，B，C三点的坐标分别为A（-3，0），B（1，0），C（0，）；

（2）如图1，过点E作EF⊥AB于F，
∵C（0，），
∴EF=，
∵B（1，0），
∴AF=1，
∴OF=OA-AF=3-1=2，
∴E（-2，-），
四边形AEBC是矩形．
理由：四边形AEBC是平行四边形，且∠ACB=90°，

（3）存在．
D（-1，）
如图2，作出点A关于BC的对称点A′，连接A′D与直线BC交于点P．
则点P是使△PAD周长最小的点．
∵AO=3，
∴FO=3，
CO=，
∴A′F=2，
∴求得A′（3，2）
过A′、D的直线y=x+，
过B、C的直线y=-x+，
将两函数解析式联立得出：
，
解得：，
故两直线的交点P（-，）．