Question

如图，△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，点P、Q同时从点C出发，以1cm/s的速度分别沿CA、CB匀速运动．当点Q到达点B时，点P、Q同时停止运动．过点P作AC的垂线l交AB于点R，连接PQ、RQ，并作△PQR关于直线l对称的图形，得到△PQ′R．设点Q的运动时间为t（s），△PQ′R与△PAR重叠部分的面积为S（cm²）．
（1）t为何值时，点Q′恰好落在AB上？
（2）求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）S能否为cm²？若能，求出此时的t值；若不能，说明理由．

Answer

（1）如图所示，连接QQ′，由题意得到三角形PQC为等腰直角三角形，可得出∠CPQ=45°，再由l与AC垂直，得到∠RPQ也为45°，进而由对称性得出PQ′=PQ，∠QPQ′=90°，QQ′=2t，且QQ′∥CA，由平行得到一对同位角相等，再由公共角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似得到△BQQ′∽△BCA，由相似得比例，将各自的值代入列出关于t的方程，求出方程的解即可得到此时t的值；
（2）由（1）求出t的值，分两种情况考虑：当0＜t≤2.4时，过Q′作Q′D⊥l于D点，则Q′D=t，由RP与BC平行，利用两直线平行得到两对同位角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似得到△RPA∽△BCA，由相似得比例表示出RP，利用三角形的面积公式表示出S关于t的关系式即可；当2.4＜t≤6时，记PQ′与AB的交点为E，过E作ED⊥l于D，由对称性得到由对称可得：∠DPE=∠DEP=45°，可得出三角形DEP为等腰直角三角形，得到DE=DP，由△RDE∽△BCA，利用相似得比例，表示出DR，再由△RPA∽△BCA，由相似得比例，表示出RP，由RP=RD+DP=RD+DE，将表示出的DR及RP代入，表示出DE，利用三角形的面积公式即可表示出S与t的关系式；
（3）S能为cm2，具体求法为：当0＜t≤2.4时，令S=，得出关于t的一元二次方程，求出方程的解得到t的值；当2.4＜t≤6时，令S=，得出关于t的一元二次方程，求出方程的解得到t的值，经检验得到满足题意t的值．
【解析】
（1）连接QQ′，

∵PC=QC，∠C=90°，
∴∠CPQ=45°，又l⊥AC，
∴∠RPQ=∠RPC-∠CPQ=90°-45°=45°，
由对称可得PQ′=PQ，∠QPQ′=90°，QQ′=2t，且QQ′∥CA，
∴∠BQQ′=∠BCA，又∠B=∠B，
∴△BQQ′∽△BCA，
∴==，即=，
解得：t=2.4；

（2）当0＜t≤2.4时，过Q′作Q′D⊥l于D点，则Q′D=t，

又∵RP∥BC，
∴△RPA∽△BCA，
∴=，即=，
∴RP=（8-t）•=，
∴S=RP•Q′D=••t=-t2+3t；
当2.4＜t≤6时，记PQ′与AB的交点为E，过E作ED⊥l于D，

由对称可得：∠DPE=∠DEP=45°，
又∵∠PDE=90°，
∴△DEP为等腰直角三角形，
∴DP=DE，
∵△RDE∽△BCA，
∴===，即DR=DE，
∵△RPA∽△BCA，
∴=，即=，
∴RP=，
∴RP=RD+DP=DR+DE=DE+DE=，即DE=，
∴DE=，
∴S=RP•DE=••=t2-t+；

（3）S能为cm2，理由为：
若t2-t+=（2.4＜t≤6），
整理得：t2-16t+57=0，
解得：t==8±，
∴t1=8+（舍去），t2=8-；
若-t2+3t=（0＜t≤2.4），
整理得：t2-8t+3=0，
解得：t==4±，
∴t1=4+（舍去），t2=4-，
综上，当S为cm2时，t的值为（8-）或（4-）秒．