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已知:如图1,在面积为3的正方形ABCD中,E、F分别是BC和CD边上的两点,A...

已知:如图1,在面积为3的正方形ABCD中,E、F分别是BC和CD边上的两点,AE⊥BF于点G,且BE=1.
(1)求证:△ABE≌△BCF;
(2)求出△ABE和△BCF重叠部分(即△BEG)的面积;
(3)现将△ABE绕点A逆时针方向旋转到△AB′E′(如图2),使点E落在CD边上的点E′处,问△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积是否发生了变化?请说明理由.

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(1)由四边形ABCD是正方形,可得∠ABE=∠BCF=90°,AB=BC,又由AE⊥BF,由同角的余角相等,即可证得∠BAE=∠CBF,然后利用ASA,即可判定:△ABE≌△BCF; (2)由正方形ABCD的面积等于3,即可求得此正方形的边长,由在△BGE与△ABE中,∠GBE=∠BAE,∠EGB=∠EBA=90°,可证得△BGE∽△ABE,由相似三角形的面积比等于相似比的平方,即可求得答案; (3)首先由正切函数,求得∠BAE=30°,易证得Rt△ABE≌Rt△AB′E′≌Rt△ADE′,可得AB′与AE在同一直线上,即BF与AB′的交点是G,然后设BF与AE′的交点为H,可证得△BAG≌△HAG,继而证得结论. (1)证明:∵四边形ABCD是正方形, ∴∠ABE=∠BCF=90°,AB=BC, ∴∠ABF+∠CBF=90°, ∵AE⊥BF, ∴∠ABF+∠BAE=90°, ∴∠BAE=∠CBF, 在△ABE和△BCF中, ∴△ABE≌△BCF.…(4分) (2)【解析】 ∵正方形面积为3, ∴AB=,…(5分) 在△BGE与△ABE中, ∵∠GBE=∠BAE,∠EGB=∠EBA=90°, ∴△BGE∽△ABE,…(7分) ∴, 又∵BE=1, ∴AE2=AB2+BE2=3+1=4, ∴S△BGE=×S△ABE==.…(8分) (3)【解析】 没有变化. …(9分) 理由:∵AB=,BE=1, ∴tan∠BAE==,∠BAE=30°,…(10分) ∵AB′=AB=AD,∠AB′E′=∠ADE'=90°,AE′公共, ∴Rt△ABE≌Rt△AB′E′≌Rt△ADE′, ∴∠DAE′=∠B′AE′=∠BAE=30°, ∴AB′与AE在同一直线上,即BF与AB′的交点是G, 设BF与AE′的交点为H, 则∠BAG=∠HAG=30°,而∠AGB=∠AGH=90°,AG公共, ∴△BAG≌△HAG,…(11分) ∴S四边形GHE′B′=S△AB′E′-S△AGH=S△ABE-S△ABG=S△BGE. ∴△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积没有变化.…(12分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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