Question

小许在动手操作时，发现直角边长分别为6，8和直角边长分别为2，14的两个直角三角形中（如图①），∠1和∠2可以拼成一个45°的角（如图②），但他不会说理，于是找来几个同学一起研究这个问题．
（1）甲同学发现，只要在图③中连接CC₁，过C作CD⊥B₁C₁，交C₁B₁的延长线于点D并能计算出CC₁的长度，就可以说明△ACC₁是等腰直角三角形，从而说明∠1+∠2=45°，请写出甲同学的说理过程；
（2）乙同学发现，只要两个直角三角形的直角边长分别为a，b和直角边长分别为a+b，a-b（a＞b），利用两个直角三角形构造出的矩形（如图④），同样可以说明∠1+∠2=45°，请写出乙同学的说理过程．

Answer

（1）由题干条件知CD=6，DC1=8，在直角三角形中利用勾股定理求出AC1和CC1的长度，进而求得AC2+CC12=200=AC12，利用勾股定理的逆定理求出∠ACC1=90°，再知AC=CC1，即可证明出∠1+∠2=45°，
（2）连接CC1由已知易得：CD=a，DC1=b，在直角三角形中利用勾股定理求出AC1和CC1的长度，进而求得AC2+CC12=AC12，利用勾股定理的逆定理求出∠ACC1=90°，再知AC=CC1，即可证明出∠1+∠2=45°．
【解析】
（1）由已知易得：CD=6，DC1=8
由勾股定理，在Rt△ABC中，AC=10，（1分）
在Rt△CDC1中，CC1=10，（2分）
在Rt△ABC中，AC1=10（3分）
在△ACC1中，AC2+CC12=200=AC12
∴∠ACC1=90°（4分）
又∵AC=CC1=10，
∴∠CAC1=∠1+∠2=45°（5分）

（2）连接CC1
由已知易得：CD=a，DC1=b
由勾股定理，在Rt△ABC中，AC=，（6分）
在Rt△CDC1中，CC1=，（7分）
在Rt△ABC中，AC1=（8分）
在△ACC1中，AC2+CC12=AC12
∴∠ACC1=90°（9分）
又∵AC=CC1，
∴∠CAC1=45°
∴∠1+∠2=45°．（10分）