Question

如图，在平行四边形ABCD中，AE、CF分别平分∠BAD和∠DCB，交BC、AD于点E和点F．
试说明（1）△ABE是等腰三角形；
（2）四边形AECF是平行四边形．

Answer

（1）根据等腰三角形的判定，要证△ABE是等腰三角形，可证∠BAE=∠AEB，由已知和平行四边形的性质很容易证得∠BAE=∠AEB．
（2）在（1）的基础上，可证AF=EC，AF∥EC，即证四边形AECF是平行四边形．
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD=∠DCB，AD∥BC，
∵AE、CF分别平分∠BAD和∠DCB，
∴∠BAE=∠DAE=∠BAD，
∴∠DAE=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，
∴BA=BE，
∴△ABE是等腰三角形；

（2）同理可证△DCF是等腰三角形，
∴DF=DC，
由（1）知BA=BE，
∵AB=CD，AD=BC，
∴DF=BE，
∴AF=EC，
∵AF∥EC，
∴四边形AECF是平行四边形．