Question

已知：点P为线段AB上的动点（与A、B两点不重合）．在同一平面内，把线段AP、BP分别折成△CDP、△EFP，其中∠CDP=∠EFP=90°，且D、P、F三点共线，如图所示．
（1）若△CDP、△EFP均为等腰三角形，且DF=2，求AB的长；
（2）若AB=12，tan∠C=，且以C、D、P为顶点的三角形和以E、F、P为顶点的三角形相似，求四边形CDFE的面积的最小值．

Answer

（1）根据等腰直角三角形的性质，设DP=x，PF=y，得出CD=DP=x，EF=PF=y，PC=，PE=，进而得出x+y的值，求出AB即可；
（2）由于tan∠C=，且以C、D、P为顶点的三角形和以E、F、P为顶点的三角形相似，因此分两种情况考虑，当∠DCP=∠PEF时，当∠DCP=∠EPF时，分别利用勾股定理求出m+n的值，即可得出四边形CDFE的面积的最小值．
【解析】
（1）设DP=x，PF=y，
∵△CDP和△EFP都是等腰直角三角形，且∠CDP=∠EFP=90°，
∴CD=DP=x，EF=PF=y，PC=，PE=．
∴AB=AP+PB=CD+DP+PC+PF+EF+PE
=x+x++y+y+
=（2+）（x+y），
∵DF=2，
∴x+y=2．
∴AB=（2+）×2=4+；

（2）连接CE．
由于tan∠C=，且以C、D、P为顶点的三角形和以E、F、P为顶点的三角形相似，因此分两种情况考虑．
①当∠DCP=∠PEF时，
设DP=4m，PF=4n，则CD=3m，EF=3n，
根据勾股定理，可得CP=5m，PE=5n．
∵AB=CD+PC+DP+PE+EF+PF=12（m+n）=12，
∴m+n=1，
∵S四边形CDFE=（3m+3n）（4m+4n），
=6（m+n）2
=6，
当∠DCP=∠EPF时，
设DP=4m，PF=3n，则CD=3m，EF=4n，
根据勾股定理，可得CP=5m，PE=5n．
∵AB=12（m+n）=12，
∴m+n=1．
∵m＞0，n＞0，
∴S四边形CDFE=（3m+4n）（4m+3n）
==
=（12+mn）
=6+mn＞6，
综上所述，四边形CDFE的面积的最小值为6．