Question

下面让我们来探究有关材料的利用率问题：工人师傅要充分利用一块边长为100cm的正三角形簿铁皮材料（如图1）来制作一个圆锥体模型（制作时接头部分所用材料不考虑）．
（1）求这块三角形铁皮的面积（结果精确到0.01cm²）；
（2）假如要制作的圆锥是一个无底面的模型，且使三角形铁皮的利用率最高，请你在图2中画出裁剪方案的草图，并计算出铁皮的利用率（精确到1%）；
（3）假如要用这块铁皮裁一块完整的圆形和一块完整的扇形，使之配套，恰好做成一个封闭圆锥模型，且使铁皮得到充分利用，请你设计一种裁剪方案，在图3中画出草图，并计算出铁皮的利用率（精确到1%）．

Answer

（1）过点A作等边三角形的高，根据∠C=60°，求得高的长，根据三角形的面积公式求得面积．
（2）如图：当扇形与BC边相切时，三角形铁皮的利用率最高，根据扇形的面积S=求得面积．
（3）如图，扇形与⊙O相切于点E，⊙O与等边三角形的两边也相切，使得⊙O的周长与扇形的弧相等时，便能作成一个封闭圆锥模型．也可以使扇形与⊙O相切于等边三角形的高上，⊙O与等边三角形的边相切，也使得⊙O的周长与扇形的弧相等．
【解析】
（1）过点A作AD⊥BC于点D．
∵△ABC是等边三角形，
∴，（2分）
根据勾股定理得：，（3分）
∴S△ABC=．（4分）

（2）如图：当扇形与BC边相切时，三角形铁皮的利用率最高．（6分）

=
=1250π≈3925
∴利用率≈%≈91%．
（8分）

（3）方案1：
如图，扇形与⊙O相切于点E，⊙O与BC相切于点E，
则A，E，O，D在同一直线上，且AE⊥BC．（9分）
设扇形半径为x，⊙O半径为y，
则有
（10分）

∴利用率≈60%．（13分）

方案2：
如图，⊙O与半圆⊙D相切于点E，⊙O与AB，AC相切于点F，G，
连接OF，则OF⊥AB，设⊙D的半径为x，设⊙O的半径为y，
∵∠BAD=30°，
∴AO=2y．（9分）

πx=2πy（10分）（13分）
∴
（12分）
利用率≈65%．（13分）
方案3：
如图，扇形与⊙O相切于点E，⊙O与AB，BC分别相切于点F，G，
连接A0，0F，OB，
则AO过点E，OF⊥AB，BO平分∠ABC，
设⊙O的半径为y，扇形的半径为x，
则有OB=2y，BF=y．（9分）
∵，
∴x=6y，（10分）
∴．
∵AF+BF=100，
∴，
∴
（12分）
利用率≈68%．（13分）