Question

如图，AB为⊙O的直径，弦CD垂直平分OB于点E，点F在AB延长线上，∠AFC=30°．
（1）求证：CF为⊙O的切线．
（2）若半径ON⊥AD于点M，CE=，求图中阴影部分的面积．

Answer

（1）由CD垂直平分OB，得到E为OB的中点，且CD与OB垂直，又OB=OC，可得OE等于OC的一半，在直角三角形OEC中，根据锐角三角函数的定义，得到sin∠ECO的值为，可得∠ECO为30°，进而得到∠EOC为60°，又∠CFO为30°，可得∠OCF为直角，由OC为圆O的半径，可得CF为圆的切线；
（2）由（1）得出的∠COF=60°，根据对称性可得∠EOD为60°，进而得到∠DOA=120°，由OA=OD，且OM与AD垂直，根据“三线合一”得到∠DOM为60°，在直角三角形OCE中，由CE的长及∠ECO=30°，可求出半径OC的长，又在直角三角形OMD中，由∠MDO=30°，半径OD=2，可求出MD及OM的长，然后利用扇形ODN的面积减去三角形ODM的面积即可求出阴影部分的面积．
（1）证明：∵CD垂直平分OB，∴OE=OB，∠CEO=90°，
∵OB=OC，
∴OE=OC，
在Rt△COE中，sin∠ECO==，
∴∠ECO=30°，
∴∠EOC=60°，
∵∠CFO=30°，
∴∠OCF=90°，又OC是⊙O的半径，
∴CF是⊙O的切线；

（2）【解析】
由（1）可得∠COF=60°，
由圆的轴对称性可得∠EOD=60°，∴∠DOA=120°，
∵OM⊥AD，OA=OD，∴∠DOM=60°．
在Rt△COE中，CE=，∠ECO=30°，cos∠ECO=，
∴OC=2，
在Rt△ODM中，OD=2，∠ADO=30°，
∴OM=ODsin30°=1，MD=ODcos30°=，
∴S扇形OND==π，
∴S△OMD=OM•DM=，
∴S阴影=S扇形OND-S△OMD=π-．