Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．动点P从点A开始沿折线AC-CB-BA运动，点P在AC，CB，BA边上运动，速度分别为每秒3，4，5个单位．直线l从与AC重合的位置开始，以每秒个单位的速度沿CB方向平行移动，即移动过程中保持l∥AC，且分别与CB，AB边交于E，F两点，点P与直线l同时出发，设运动的时间为t秒，当点P第一次回到点A时，点P和直线l同时停止运动．
（1）当t=5秒时，点P走过的路径长为______；当t=______秒时，点P与点E重合；
（2）当点P在AC边上运动时，将△PEF绕点E逆时针旋转，使得点P的对应点M落在EF上，点F的对应点记为点N，当EN⊥AB时，求t的值；
（3）当点P在折线AC-CB-BA上运动时，作点P关于直线EF的对称点，记为点Q．在点P与直线l运动的过程中，若形成的四边形PEQF为菱形，请直接写出t的值．

Answer

（1）由条件可以求出AB=10，根据P点在各边的速度可以求出在各边所用的时间，从而可以求出P在5秒内走的路程，根据CE=P走的路程-AC建立方程就可以求出其值；
（2）如图，由点P的对应点M落在EF上，点F的对应点为点N，可知∠PEF=∠MEN，由EF∥AC，∠C=90°可以得出∠CPE=∠PEF，又由EN⊥AB，就有∠B=∠MEN．可以得出∠CPE=∠B．最后利用三角函数的关系建立方程求出其解就可以了；
（3）根据菱形的性质和相似三角形的性质分两种情况当P点在AC上时和当P在AB上时可以分别求出t的值．
【解析】
（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．
由勾股定理，得AB=10，
∵点P在AC，CB，BA边上运动，速度分别为每秒3，4，5个单位，
∴点P在AC边上运动的时间为：6÷3=2秒，
点P在BC边上运动的时间为：8÷4=2秒，
∴点P在AB边上运动的时间为：5-2-2=1秒，
∴P点在AB边上运动的距离为：5×1=5，
∴当t=5秒时，点P走过的路径长为 19；
由题意可知，当（t-2）×4=t时，点P与点E重合．
解得：t=3，
∴t=3秒时，点P与点E重合．
故答案为：19，3；

（2）如图，由点P的对应点M落在EF上，点F的对应点为点N，可知∠PEF=∠MEN，
∵P在AC上，
∴AP=3t （0＜t≤2），
∴CP=6-3t，．
∵EF∥AC，∠C=90°，
∴∠BEF=90°，∠CPE=∠PEF．
∵EN⊥AB，
∴∠B=∠MEN．
∵∠PEF=∠FEN，
∴∠CPE=∠B．
∵，，
∴．
∴CP==t
∴．
解得：．

（3）如图1，当P点在AC上时，（0＜t≤2）
∴AP=3t，PC=6-3t，EC=t，
∴BE=8-t，
∵EF∥AC，
∴△FEB∽△ACB，
∴，
∴，
∴EF=6-t．
∵四边形PEMF是菱形，
∴∠POE=90°，OE=EF=3-t，
∵EF∥AC，∠C=90°，
∴∠OEC=90°，
∴四边形PCEO是矩形，
∴OE=PC．
∴3-t=6-3t，
∴t=，
如图2，当P在AB上时（4＜t＜6），
∵四边形PFME是菱形，
∴PE=PF，
∴∠PFE=∠PEF，
∵EF∥AC，∠C=90°，
∴∠FEB=∠FEP+∠PEB=90°，
∴∠B+∠EFB=90°，
∴∠B+∠FEP=90°，
∴∠PEB=∠B，
∴PE=PB．
∵PB=5（t-4），
∴BF=10（t-4），
∵sin∠B==，
∴，
∴EF=6t-24
∵CE=t，
∴BE=8-t，
∵△FEB∽△ACB，
∴，
∴，
∴EF=6-t．
∴6-t=6t-24
解得t=
∴t的值为（秒）或（秒）．