Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4．过点A作AE⊥AB且AB=AE，过点E分别作EF⊥AC，ED⊥BC，分别交AC和BC的延长线与点F，D．若FC=5，求四边形ABDE的周长．

Answer

首先证明△ABC≌△EAF，即可得出BC=AF，AC=EF，再利用勾股定理得出AB的长，进而得出四边形EFCD是矩形，求出四边形ABDE的周长即可．
【解析】
∵∠ACB=90°，AE⊥AB，
∴∠1+∠B=∠1+∠2=90°．
∴∠B=∠2．                  
∵EF⊥AC，
∴∠4=∠5=90°．
∴∠3=∠4．
在△ABC和△EAF中，
∵，
∴△ABC≌△EAF（AAS）． 
∴BC=AF，AC=EF．
∵BC=4，
∴AF=4．
∵FC=5，
∴AC=EF=9．
在Rt△ABC中，AB===．
∴AE=．
∵ED⊥BC，
∴∠7=∠6=∠5=90°．
∴四边形EFCD是矩形．
∴CD=EF=9，ED=FC=5．
∴四边形ABDE的周长=AB+BD+DE+EA=+4+9+5+=18+2．