Question

如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax²+bx+c经过点A、B和D（4，）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上找到点M，使得M到D、B的距离之和最小，求出点M的坐标；
（3）如果点P由点A出发沿线段AB以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q由点B出发沿线段BC以1cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设S=PQ²（cm²）．
①求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
②当S=时，在抛物线上存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形，求出点R的坐标．

Answer

（1）设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c，求出A、B、D的坐标代入即可；
（2）A关于抛物线的对称轴的对称点为B，过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M，求出直线BD的解析式，把抛物线的对称轴x=1代入即可求出M的坐标；
（3）①根据勾股定理和已知条件，可以求得PB、BQ的长度，即可求出S与运动时间t之间的函数关系式（0≤t≤1）；
②假设存在点R，可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形，求出P、Q的坐标，再分为两种种情况根据平行四边形的性质求出R点的坐标，代入抛物线解析式，看能否使等式成立，能的话，这种情况就存在．
【解析】
（1）据题意可知：A（0，2），B（2，2），C（2，0）．
∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B和D（4，），
∴，
∴，
∴y=-x2+x+2；

（2）点B关于抛物线的对称轴x=1的对称点为A．
连接AD，与对称轴的交点即为M．
∵A（0，2）、D（4，），
∴直线AD的解析式为：y=-x+2，
当x=1时，y=，
则M（1，）；
（3）①由图象知：PB=2-2t，BQ=t，AP=2t，
∵在Rt△PBQ中，∠B=90°，
∴S=PQ2=PB2+BQ2，
∴=（2-2t）2+t2，
即S=5t2-8t+4（0≤t≤1）．
②当S=时，=5t2-8t+4
即20t2-32t+11=0，
解得：t=，t=＞1（舍）
∴P（1，2），Q（2，）．
∴PB=1．
若R点存在，分情况讨论：
（i）假设R在BQ的右边，如图所示，这时QR=PB，RQ∥PB，
则R的横坐标为3，R的纵坐标为，
即R（3，），代入y=-x2+x+2，左右两边相等，
故这时存在R（3，）满足题意；
（ii）假设R在PB的左边时，这时PR=QB，PR∥QB，
则R（1，）代入y=-x2+x+2，左右两边不相等，
则R不在抛物线上
综上所述，存点一点R，以点P、B、Q、R为顶点的平行四边形只能是□PQRB．
则R（3，）．
此时，点R（3，）在抛物线=-x2+x+2上．