Question

如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，过点B作BD⊥AC于D，BE平分∠DBC，交AC于E，过点A作AF⊥BE于G，交BC于F，交BD于H．
（1）若∠BAC=45°，求证：①AF平分∠BAC；②FC=2HD．
（2）若∠BAC=30°，请直接写出FC与HD的等量关系．

Answer

（1）①首先证明∠HBG=∠HAD，再证明∠GBF=∠BAF，再根据∠GBF=∠HBG可得∠HAD=∠BAF，进而得到结论；
②过点D作KD∥FC交AF于K，然后可以证出==进而得到FC=2KD，再证明∠DKH=∠DHK得到KD=HD，进而得到FC=2HD；
（2）与（1）中的②证明方法类似，首先证明=，再根据MD∥FC可得==，然后再证明MD=HD，进而得到结论．
【解析】
（1）①∵BD⊥AC，AF⊥BE，
∴∠ADH=∠HGB=90°．
∵∠BHG=∠AHD，
∴∠HBG=∠HAD．
∵∠ABC=∠FGB=90°，
∴∠BAF+∠AFB=90°，
∠GBF+∠AFB=90°．
∴∠GBF=∠BAF．
∵BE平分∠DBC，
∴∠GBF=∠HBG．
∴∠HAD=∠BAF．
即 AF平分∠BAC．

②∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=45°，
∴∠C=∠BAC=45°，
∴AB=BC．
∵BD⊥AC，
∴AD=DC=AC．
过点D作KD∥FC交AF于K，
∴==．
∴FC=2KD，
∵BE平分∠DBC，BE⊥AF，
∴∠DBE=∠EBF，∠HGB=∠FGB=90°．
∴∠BFH=∠BHF．
∴∠BHF=∠DHK．
∴∠BFH=∠DHK．
∵KD∥BC，
∴∠DKH=∠BFH．
∴∠DKH=∠DHK．
∴KD=HD．
∴FC=2HD．

（2）过点D作MD∥FC交AF于M，
∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=30°，
∴=，=，
∴=，
∵MD∥FC，
∴==，
∵BE平分∠DBC，BE⊥AF，
∴∠DBE=∠EBF，∠HGB=∠FGB=90°．
∴∠BFH=∠BHF．
∵∠BHF=∠DHM．
∴∠BFH=∠DHM．
∵MD∥BC，
∴∠DMH=∠BFH．
∴∠DMH=∠DHM．
∴MD=HD．
∴=．
∴FC=HD．