Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=4cm．长为2cm的线段MN在△ABC的斜边AB上沿AB方向以每秒1cm的速度向点B移动（移动前点M与点A重合），过M、N分别作AB的垂线，交直角边于P、Q两点，设线段MN移动的时间为t（秒）：
（1）若△AMP的面积为y，请写出y与t的函数关系式；
（2）线段MN移动过程中，四边形MNQP能成为矩形吗？若能，请求出相应的t值；若不能，请说明理由．

Answer

（1）分两种情况，点P可以在AC上时和当点P在BC上时，利用三角函数分别用含t的代数式表示出PM，AM，再利用S△APM=AM•PM得出y与t的函数关系式；
（2）当PM=QN时，四边形MNQP为矩形，建立含t的方程，求得t的值即可．
【解析】
（1）分两种情况考虑：
（i）当点P在AC上时，
∵AM=t，
∴PM=AM•tan60°=t，
∴y=t•t=t2（0≤t≤2），
（ii）当点P在BC上时，
∵PM=BM•tan30°=（8-t），
∴y=t•（8-t）=-t2+t（2≤t≤6）；

（2）线段MN移动过程中，四边形MNQP能为矩形；理由为：
∵在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=4cm，
∴∠B=30°，
∴AB=2AC=8cm，
∴BN=AB-AM-MN=8-t-2=6-t，
∴QN=BN•tan30°=（6-t），
由条件知，若四边形MNQP为矩形，需PM=QN，即t=（6-t），
解得：t=．
则当t=s时，四边形MNQP为矩形．