Question

如图，把正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转45°得到正方形A′B′CD′（此时，点B′落在对角线AC上，点A′落在CD的延长线上），A′B′交AD于点E，连接AA′、CE．
求证：（1）△ADA′≌△CDE；
（2）直线CE是线段AA′的垂直平分线．

Answer

（1）根据正方形的性质可得AD=CD，∠ADC=90°，∠EA′D=45°，则∠A′DE=90°，再计算出∠A′ED=45°，根据等角对等边可得A′D=ED，即可利用SAS证明△AA′D≌△CED；
（2）首先由AC=A′C，可得点C在AA′的垂直平分线上；再证明△AEB′≌△A′ED，可得AE=A′E，进而得到点E也在AA′的垂直平分线上，再根据两点确定一条直线可得直线CE是线段AA′的垂直平分线．
证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADC=90°，
∴∠A′DE=90°，
根据旋转的方法可得：∠EA′D=45°，
∴∠A′ED=45°，
∴A′D=DE，
在△AA′D和△CED中，
∴△AA′D≌△CED（SAS）；

（2）∵根据旋转可得AC=A′C，∠ACE=∠A′CE，
∴点C在AA′的垂直平分线上，
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠CAE=45°，
∵AC=A′C，CD=CB′，
∴AB′=A′D，
在△AEB′和△A′ED中，
∴△AEB′≌△A′ED（AAS），
∴AE=A′E，
∴点E也在AA′的垂直平分线上，
∴直线CE是线段AA′的垂直平分线．