Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=Rt∠，BC=3，AC=4，D是AC的中点，P是AB上一动点，连接DP并延长至点E，使EP=DP，过P作PK⊥AC，K为垂足．设AP=m（0≤m≤5）．
（1）用含m的代数式表示DK的长；
（2）当AE∥BC时，求m的值；
（3）四边形AEBC的面积S会随m的变化而变化吗？若不变，求出S的值；若变化，求出S与m的函数关系式；
（4）作点E关于直线AB的对称点E'，当△DE'K是等腰三角形时，求m的值．（直接写出答案即可）

Answer

（1）在Rt△APK和Rt△ABC中，根据三角函数可得AK=，再分0≤m≤2.5和2.5＜m≤5两种情况讨论可得DK的长；
（2）先证△DPK∽△EDA，再根据相似三角形的性质可得m的值；
（3）分别过D、E作DG⊥AB，EH⊥AB，G、H为垂足，由AAS可证△DGP≌△EHP，根据全等三角形的性质和三角函数可得EH=DG=×2=，则S四边形AEBC=S△ABC+S△ABE，求得S的值；
（4）找到E点关于直线AB的对称点E'在DK的垂直平分线上的点，依此得到m的值．
【解析】
（1）在Rt△APK和Rt△ABC中
cos∠BAC=
∴AK=…（1分）
∴当0≤m≤2.5时，DK=2-；
当2.5＜m≤5时，DK=-2；

（2）∵PK⊥AC，∠C=Rt∠，
∴PK∥BC∥AE，
∴△DPK∽△EDA，
∴，
∵EP=DP，
∴，即DK=AD=1，
∴2-=1，
解得 ；

（3）四边形AEBC的面积S不变，且S=9   
理由如下：
分别过D、E作DG⊥AB，EH⊥AB，G、H为垂足
则∠DGP=∠EHP=Rt∠
∵在△DPK与△EDA中，
，
∴△DGP≌△EHP（AAS）
∴DG=EH   
∵sin∠BAC=
∴EH=DG=×2=，
∴S四边形AEBC=S△ABC+S△ABE=×3×4+×5×=9；

（4）当△DE'K是等腰三角形时，．