Question

如图，在平行四边形ABCD中，AD=4cm，∠A=60°，BD⊥AD．一动点P从A出发，以每秒1cm的速度沿A→B→C的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD．
（1）当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE的面积；
（2）当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿A→B→C的路线运动，且在AB上以每秒1cm的速度匀速运动，在BC上以每秒2cm的速度匀速运动．过Q作直线QN，使QN∥PM．设点Q运动的时间为t秒（0≤t≤10），直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为S cm²．
求S关于t的函数关系式．

Answer

（1）分别表示出AP、AE和PE的长，利用三角形的面积求法求得三角形APE的面积即可；
（2）分0≤t≤6、6≤t≤8和8≤t≤10三种情况分别表示出有关线段求得两个变量之间的函数关系即可．
【解析】
（1）当点P运动2秒时，AP=2cm，由∠A=60°，知AE=1，PE=．
∴S△APE=．

（2）当0≤t≤6时，点P与点Q都在AB上运动，
设PM与AD交于点G，QN与AD交于点F，
则AQ=t，AF=，QF=，AP=t+2，AG=1+，PG=+．
∴此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=．
当6≤t≤8时，点P在BC上运动，点Q仍在AB上运动．
设PM与DC交于点G，QN与AD交于点F，
则AQ=t，AF=，DF=4-，QF=，BP=t-6，CP=10-t，PG=（10-t），
而BD=4，
故此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=-t2+10t-34．
当8≤t≤10时，点P和点Q都在BC上运动．
设PM与DC交于点G，QN与DC交于点F，
则CQ=20-2t，QF=（20-2t），CP=10-t，PG=（10-t）．
∴此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=t2-30t+150．
故S关于t的函数关系式为S=．