Question

如图，AB为⊙O的直径，∠ABT=45°，AB=AT=4．
（1）求证：AT是⊙O的切线；
（2）若P为OA的中点，过点P作MN⊥AB，交⊙O与点M，C，交BN于点N，求MN的长．

Answer

（1）若要证明AT是⊙O的切线，只要证明∠A=90°即可；
（2）连接OM，利用三角形相似的性质和勾股定理可分别求出NP和MP的值，即可求出MN的值．
（1）证明：
∵AB=AT=4，
∴∠T=∠ABT=45°，
∴∠A=90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴AT是⊙O的切线；
（2）连接OM，
∵P为OA的中点，
∴OP=AP，
∵AB=AT=4．
∴OA=OB=OM=2，
∴OP=AP=1，
∵MN⊥AB，
∴∠OPM=90°，
∴△OPM是直角三角形，
∴PM==，
∵AB⊥AT，MN⊥AB，
∴NP∥AT，
∴△BNP∽△BTA，
∴，
，
∴NP=3，
∴MN=MP+PN=3+．