Question

如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOC的直角边OC在y轴正半轴，且顶点O与坐标原点重合，点A的坐标为（2，4），直线y=-x+b过点A，与x轴交点B．

（1）点B的坐标为______．
（2）动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O-C-A的路线向点A运动，同时动点M从点B出发，以相同的速度沿BO的方向向O运动，过点M作MQ⊥x轴，交线段BA或线段AO于点Q，当点P到达A点时，点P和点M都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．
①设△APQ的面积为S，求S关于t的函数关系式；
②是否存在以M、P、Q为顶点的三角形的面积与S相等？若存在，求t的值，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）先将点A（2，4）代入y=-x+b，运用待定系数法求出直线AB的解析式，再令y=0，求出x的值，即可得到与x轴交点B的坐标；
（2）①先求出直线AB与y轴交点D的坐标，由B、D两点的坐标，可知△OBD是等腰直角三角形，再过点A作AN⊥OB于N，可得AN=OC=4，BN=AN=4，则当点P到达点C时，点M到达点N，所以分两种情况讨论：（i）当0≤t≤4，即点P在OC上，点Q在BA上时，用含t的代数式分别表示PQ、CP，再根据S=PQ•CP即可求解；（ii）当4＜t≤6，即点P在AC上，点Q在AO上时，延长MQ交AC于点E，用含t的代数式分别表示AP、QE，再根据S=AP•QE即可求解；
②分两种情况讨论：（i）当0≤t≤4，即点P在OC上，点Q在BA上时，先由三角形面积公式求出S△MPQ=-t2+3t，再根据S△MPQ=S=t2-5t+12列出方程，解方程即可；（ii）当4＜t≤6，即点P在AC上，点Q在AO上时，先由三角形面积公式求出S△MPQ=（6-t）|10-2t|，再根据S△MPQ=S=（6-t）（t-4），列出方程，解方程即可．
【解析】
（1）将点A（2，4）代入y=-x+b，
得4=-2+b，解得b=6，
∴y=-x+6，
当y=0时，x=6，
∴点B的坐标为（6，0）．

（2）①设直线y=-x+6与y轴交于点D，则D（0，6），
∵B（6，0），
∴OB=OD=6，∠OBD=∠ODB=45°．
过点A（2，4）作AN⊥OB于N，则AN=OC=4，ON=AC=2，BN=AN=4，
∴当点P到达点C时，点M到达点N．
分两种情况讨论：
（i）当0≤t≤4时，点P在OC上，点Q在BA上，如图1．
∵OP=t，BM=QM=t，
∴PQ∥OB，PQ=OM=OB-BM=6-t，CP=OC-OP=4-t，
∴S=PQ•CP=（6-t）（4-t）=t2-5t+12；
（ii）当4＜t≤6时，点P在AC上，点Q在AO上，如图2，延长MQ交AC于点E．
∵OC+CP=t，BM=t，
∴AP=6-t，OM=OB-BM=6-t．
∵tan∠AON==，
∴=，
∴QM=12-2t，
∴QE=EM-QM=4-（12-2t）=2t-8，
∴S=AP•QE=（6-t）（2t-8）=-t2+10t-24．
综上可知，S=；

②存在以M、P、Q为顶点的三角形的面积与S相等，理由如下：
分两种情况讨论：
（i）当0≤t≤4时，点P在OC上，点Q在BA上，如图3．
∵S△MPQ=PQ•QM=（6-t）t=-t2+3t，S=t2-5t+12，
∴-t2+3t=t2-5t+12，
整理，得t2-8t+12=0，
解得t1=2，t2=6（不合题意舍去）；
（ii）当4＜t≤6时，点P在AC上，点Q在AO上，如图4．
∵QM=12-2t，PE=|CE-CP|=|（6-t）-（t-4）|=|10-2t|，
∴S△MPQ=QM•PE=（12-2t）|10-2t|=（6-t）|10-2t|，
又∵S=AP•QE=（6-t）（2t-8）=（6-t）（t-4），
∴（6-t）|10-2t|=（6-t）（t-4），
∵t=6时，M与Q重合，不合题意舍去，
∴10-2t=±（t-4），
当10-2t=t-4时，t=；
当10-2t=-（t-4）时，t=6舍去．
综上可知，存在以M、P、Q为顶点的三角形的面积与S相等，此时t的值为2或．
故答案为（6，0）．