Question

如图1，点A在第一象限，AB⊥x轴于B点，连结OA，将Rt△AOB折叠，使A点与x轴上的动点A′重合，折痕交AB边于D点，交斜边OA于E点，
（1）若A点的坐标为（8，6），当EA'∥AB时，点A'的坐标是    ；
（2）若A'与原点O重合，OA=8，双曲线的图象恰好经过D、E两点（如图2），则k=    ．

Answer

（1）由AB⊥x轴，A点的坐标为（8，6），可求得OA的长，又由EA′∥AB，由三角函数与折叠的性质，可得AE：OE=3：5，则可求得AE与OE的长，然后由勾股定理求得OA′的长，即可求得答案；
（2）首先设点A的坐标为：（2a，2b），由A′与原点O重合，点E的坐标为：（a，b），又由双曲线的图象恰好经过D、E两点，可得k=ab，点D的坐标为：（2a，b），即可得在Rt△OBD中，OD2=OB2+BD2，即（b）2=（2a）2+（b）2①，在Rt△OAB中，OA2=OB2+AB2，即82=（2a）2+（2b）2②，联立求解即可求得答案．
【解析】
（1）∵AB⊥x轴，A点的坐标为（8，6），
∴OB=8，AB=6，
∴OA==10，
∵EA′∥AB，
∴EA′⊥x轴，
∴sin∠AOB==，
由折叠的性质可得：A′E=AE，
∴AE：OE=3：5，
∴A′E=AE=10×=，OE=×10=，
∴OA′==5，
∴点A′的坐标是：（5，0）；

（2）设点A的坐标为：（2a，2b），
∵A′与原点O重合，
∴点E的坐标为：（a，b），
∵双曲线的图象恰好经过D、E两点，
∴k=ab，
∴点D的坐标为：（2a，b），
∴AB=2b，BD=b，OB=2a，
由折叠的性质可得：OD=AD=AB-BD=b，
在Rt△OBD中，OD2=OB2+BD2，
即（b）2=（2a）2+（b）2①，
在Rt△OAB中，OA2=OB2+AB2，
即82=（2a）2+（2b）2②，
联立①②得：a=，b=，
∴k=ab=．
故答案为：（1）（5，0）；（2）．