Question

已知：如图，圆O的半径OC垂直于弦AB，点P在OC的延长线上，AC平分∠PAB．
（1）求证：PA是圆O的切线；
（2）如果PC=，∠P=30°，求阴影部分面积．

Answer

（1）连接OA，由半径OC垂直于弦AB，利用垂径定理得到C为劣弧AB的中点，利用等弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半得到∠BAC为∠AOC的一半，而AC为∠BAP的平分线，得到∠BAC为∠BAP的一半，可得出∠AOC=∠BAP，在直角三角形中两锐角互余，等量代换得到∠OAB+∠BAP为90度，即∠OAP为直角，可得出AP为圆的切线；
（2）由∠P为30度得到∠AOP为60度，可得出三角形OAC为等边三角形，再利用30度角所对直角边等于斜边的一半得到OA为OP的一半，可得出C为OP中点，由PC的长求出圆的半径长，利用扇形面积公式求出扇形OAC的面积，用三角形OPA的面积减去扇形OAC的面积即可求出阴影部分的面积．
（1）证明：连接OA，
∵OC⊥AB，
∴C为的中点，即=，
∴∠BAC=∠COA，
∵AC为∠BAP的平分线，
∴∠BAC=∠BAP，
∴∠COA=∠BAP，
∵∠COA+∠OAB=90°，
∴∠BAP+∠OAB=90°，即∠OAP=90°，
∴AP为圆O的切线；
（2）∵Rt△AOP中，∠P=30°，
∴OA=OP，∠AOP=60°，
∵OA=OC，
∴△AOC为等边三角形，即OA=OC=AC，
∴C为OP的中点，即OA=OC=PC=，OP=2，
根据勾股定理得：AP=，
∴S阴影=S△AOP-S扇形AOC=××-=-．