Question

已知在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P为对角线AC上一点，过P作BP的垂线交直线AD于点Q，若△APQ为等腰三角形，则AP的长度为    ．

Answer

分为两种情况：①点Q在AD上时，∠AQP是钝角，只有AQ=AP，求出BQ垂直平分AP，证△ABE∽△ACB，得出=，求出AE即可；②点Q在DA延长线上，显然∠QAP是钝角，有AQ=AP，∠Q=∠APQ，求出CP=CB=5，即可求出AP=5-4=1．

【解析】
分为两种情况：①点Q在AD上时，∠AQP是钝角，只有AQ=AP，
即∠QAP=∠QPA，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠BAD=90°，
∵BP⊥PQ，
∴∠BPQ=90°，
∴∠BAP=∠BPA，
∴AB=BP，
即BQ垂直平分AP，
∴AE=EP，
∵∠ABC=∠AEB，∠BAE=∠BAE，
∴△ABE∽△ACB，
∴=，
∴=，
∴AE=
∴AP=2AE=；
②在Rt△ABC中，AB=3，∠ABC=90°，BC=4，由勾股定理得：AC=5，
点Q在DA延长线上，显然∠QAP是钝角，有AQ=AP，∠Q=∠APQ，
∵∠Q+∠AEQ=∠PBE+∠PEB=90°，
∴∠Q=∠PBE=∠APQ
∵∠APQ+∠BPC=∠PBE+∠PBC=90°
∴∠BPC=∠PBC，
∴CP=CB=5，
∴AP=5-4=1，
故答案为：或1．