Question

如图1，抛物线C₁：y=ax²+bx+2与直线AB：y=x+交于x轴上的一点A，和另一点B（3，n）．

（1）求抛物线C₁的解析式；
（2）点P是抛物线C₁上的一个动点（点P在A，B两点之间，但不包括A，B两点），PM⊥AB于点M，PN∥y轴交AB于点N，在点P的运动过程中，存在某一位置，使得△PMN的周长最大，求此时P点的坐标，并求△PMN周长的最大值；
（3）如图2，将抛物线C₁绕顶点旋转180°后，再作适当平移得到抛物线C₂，已知抛物线C₂的顶点E在第四象限的抛物线C₁上，且抛物线C₂与抛物线C₁交于点D，过D点作x轴的平行线交抛物线C₂于点F，过E点作x轴的平行线交抛物线C₁于点G，是否存在这样的抛物线C₂，使得四边形DFEG为菱形？若存在，请求E点的横坐标；若不存在请说明理由．

Answer

（1）把点A（-1，0）、B（3，2）代入抛物线y=ax2+bx+2求出a、b的值，故可得出抛物线的解析式；
（2）设AB交y轴于D，故可得出D点坐标，由此可得出OA，OD，AD的长，进而求出△AOD的周长，再根据PN∥y轴，可知∠PNM=∠CDN=∠ADO，由相似三角形的判定定理得出Rt△ADO∽Rt△PNM，故可得出=，用PN表示出△PMN的周长，故可得出当PN取最大值时，C△PNM取最大值，设出PN两点的坐标，根据m的取值范围即可得出结论；
（3）设E（n，t），由题意得出抛物线C1，C2的解析式，再根据E在抛物线C1上可得出t的表达式，由四边形DFEG为菱形可知DF=FE=EG=DG，连接ED，由抛物线的对称性可知，ED=EF，故△DEG与△DEF均为正三角形，故D为抛物线C1的顶点，求出D点坐标，由DF∥x轴，且D、F关于直线x=n对称可得出DF的长，再根据△DEF为正三角形即可得出n的值，进而求出t的值，故可得出E点坐标．
【解析】
（1）∵A（-1，0）、B（3，2）在抛物线y=ax2+bx+2上，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为y=-x+x+2；

（2）∵设AB交y轴于D，则D（0，），
∴OA=1，OD=，AD=，
∴C△AOD=，
∵PN∥y轴，
∴∠PNM=∠CDN=∠ADO，
∴Rt△ADO∽Rt△PNM．
∴==．
∴C△PNM=×PN=PN．
∴当PN取最大值时，C△PNM取最大值．
设P（m，-m，+m+2）N（m，m+）．则PN=-m+m+2-（m+）=-m+m+．
∵-1＜m＜3．
∴当m=1时，PN取最大值．
∴△PNM周长的最大值为×2=．此时P（1，3）；

（3）设E（n，t），由题意得：抛物线C1为：y=-（x-）+，C2为：y=（x-n）+t．
∵E在抛物线C1上，
∴t=-（n-）+．
∵四边形DFEG为菱形．
∴DF=FE=EG=DG，
连接ED，由抛物线的对称性可知，ED=EF．
∴△DEG与△DEF均为正三角形．
∴D为抛物线C1的顶点．
∴D（，）．
∵DF∥x轴，且D、F关于直线x=n对称．
∴DF=2（n-）．
∵DEF为正三角形．
∴-[-（n-）2+]=×2（n-），
解得：n=．
∴t=-．
∴存在点E，坐标为E（，-）．