Question

如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=-x²+bx+c经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E，抛物线顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第三象限内，F为抛物线上一点，以A、E、F为顶点的三角形面积为3，求点F的坐标；
（3）点P从点D出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以P、B、C为顶点的三角形是直角三角形？直接写出所有符合条件的t值．

Answer

（1）先由直线AB的解析式为y=x+3，求出它与x轴的交点A、与y轴的交点B的坐标，再将A、B两点的坐标代入y=-x2+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）设第三象限内的点F的坐标为（m，-m2-2m+3），运用配方法求出抛物线的对称轴及顶点D的坐标，再设抛物线的对称轴与x轴交于点G，连接FG，根据S△AEF=S△AEG+S△AFG-S△EFG=3，列出关于m的方程，解方程求出m的值，进而得出点F的坐标；
（3）设P点坐标为（-1，n）．先由B、C两点坐标，运用勾股定理求出BC2=10，再分三种情况进行讨论：①∠PBC=90°，先由勾股定理得出PB2+BC2=PC2，据此列出关于n的方程，求出n的值，再计算出PD的长度，然后根据时间=路程÷速度，即可求出此时对应的t值；②∠BPC=90°，同①可求出对应的t值；③∠BCP=90°，同①可求出对应的t值．
【解析】
（1）∵y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴当y=0时，x=-3，即A点坐标为（-3，0），
当x=0时，y=3，即B点坐标为（0，3），
将A（-3，0），B（0，3）代入y=-x2+bx+c，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3；

（2）如图1，设第三象限内的点F的坐标为（m，-m2-2m+3），则m＜0，-m2-2m+3＜0．
∵y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，
∴对称轴为直线x=-1，顶点D的坐标为（-1，4），
设抛物线的对称轴与x轴交于点G，连接FG，则G（-1，0），AG=2．
∵直线AB的解析式为y=x+3，
∴当x=-1时，y=-1+3=2，
∴E点坐标为（-1，2）．
∵S△AEF=S△AEG+S△AFG-S△EFG=×2×2+×2×（m2+2m-3）-×2×（-1-m）=m2+3m，
∴以A、E、F为顶点的三角形面积为3时，m2+3m=3，
解得m1=，m2=（舍去），
当m=时，-m2-2m+3=-m2-3m+m+3=-3+m+3=m=，
∴点F的坐标为（，）；

（3）设P点坐标为（-1，n）．
∵B（0，3），C（1，0），
∴BC2=12+32=10．
分三种情况：
①如图2，如果∠PBC=90°，那么PB2+BC2=PC2，
即（0+1）2+（n-3）2+10=（1+1）2+（n-0）2，
化简整理得6n=16，解得n=，
∴P点坐标为（-1，），
∵顶点D的坐标为（-1，4），
∴PD=4-=，
∵点P的速度为每秒1个单位长度，
∴t1=；
②如图3，如果∠BPC=90°，那么PB2+PC2=BC2，
即（0+1）2+（n-3）2+（1+1）2+（n-0）2=10，
化简整理得n2-3n+2=0，解得n=2或1，
∴P点坐标为（-1，2）或（-1，1），
∵顶点D的坐标为（-1，4），
∴PD=4-2=2或PD=4-1=3，
∵点P的速度为每秒1个单位长度，
∴t2=2，t3=3；
③如图4，如果∠BCP=90°，那么BC2+PC2=PB2，
即10+（1+1）2+（n-0）2=（0+1）2+（n-3）2，
化简整理得6n=-4，解得n=-，
∴P点坐标为（-1，-），
∵顶点D的坐标为（-1，4），
∴PD=4+=，
∵点P的速度为每秒1个单位长度，
∴t4=；
综上可知，当t为秒或2秒或3秒或秒时，以P、B、C为顶点的三角形是直角三角形．