Question

海上有一小岛，为了测量小岛两端A、B的距离，测量人员设计了一种测量方法，如图所示，已知B点是CD的中点，E是BA延长线上的一点，测得AE=8.3海里，DE=30海里，且DE⊥EC，cos∠D=．
（1）求小岛两端A、B的距离；
（2）过点C作CF⊥AB交AB的延长线于点F，求sin∠BCF的值．

Answer

（1）在Rt△CED中，利用三角函数求出CE，CD的长，根据中点的定义求得BE的长，AB=BE-AE即可求解；
（2）设BF=x海里．在Rt△CFB中，利用勾股定理求得CF2=CB2-BF2=252-x2=625-x2．在Rt△CFE中，列出关于x的方程，求得x的值，从而求得sin∠BCF的值．
【解析】
（1）在Rt△CED中，∠CED=90°，DE=30海里，
∴cos∠D=，
∴CE=40（海里），CD=50（海里）．
∵B点是CD的中点，
∴BE=CD=25（海里）
∴AB=BE-AE=25-8.3=16.7（海里）．
答：小岛两端A、B的距离为16.7海里．

（2）设BF=x海里．
在Rt△CFB中，∠CFB=90°，
∴CF2=CB2-BF2=252-x2=625-x2．
在Rt△CFE中，∠CFE=90°，
∴CF2+EF2=CE2，即625-x2+（25+x）2=1600．
解得x=7．
∴sin∠BCF=．