Question

我市某商场有甲、乙两种商品，甲种每件进价15元，售价20元；乙种每件进价35元，售价45元．
（1）若商家同时购进甲、乙两种商品100件，设甲商品购进x件，售完此两种商品总利润为y 元．写出y与x的函数关系式．
（2）该商家计划最多投入3000元用于购进此两种商品共100件，则至少要购进多少件甲种商品？若售完这些商品，商家可获得的最大利润是多少元？
（3）“五•一”期间，商家对甲、乙两种商品进行表中的优惠活动，小王到该商场一次性付款324元购买此类商品，商家可获得的最小利润和最大利润各是多少？

打折前一次性购物总金额	优惠措施
不超过400元	售价打九折
超过400元	售价打八折

Answer

（1）根据利润=甲种商品的利润+乙种商品的利润就可以得出结论；
（2）根据“商家计划最多投入3000元用于购进此两种商品共100件”列出不等式，解不等式求出其解，再根据一次函数的性质，求出商家可获得的最大利润；
（3）设小王到该商场购买甲种商品m件，购买乙种商品n件．分两种情况讨论：①打折前一次性购物总金额不超过400；②打折前一次性购物总金额超过400．
【解析】
（1）设甲商品购进x件，则乙商品购进（100-x）件，由题意，得
y=（20-15）x+（45-35）（100-x）=-5x+1000，
故y与x之间的函数关系式为：y=-5x+1000；

（2）由题意，得15x+35（100-x）≤3000，
解之，得x≥25．
∵y=-5x+1000，k=-5＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x取最小值25时，y最大值，此时y=-5×25+1000=875（元），
∴至少要购进25件甲种商品；若售完这些商品，商家可获得的最大利润是875元；

（3）设小王到该商场购买甲种商品m件，购买乙种商品n件．
①当打折前一次性购物总金额不超过400时，购物总金额为324÷0.9=360（元），
则20m+45n=360，m=18-n＞0，∴0＜n＜8．
∵n是4的倍数，
∴n=4，m=9．
此时的利润为：324-（15×9+35×4）=49（元）；
②当打折前一次性购物总金额超过400时，购物总金额为324÷0.8=405（元），
则20m+45n=405，m=＞0，∴0＜n＜9．
∵m、n均是正整数，
∴m=9，n=5或m=18，n=1．
当m=9，n=5的利润为：324-（9×15+5×35）=14（元）；
当m=18，n=1的利润为：324-（18×15+1×35）=19（元）．
综上所述，商家可获得的最小利润是14元，最大利润各是49元．