Question

已知，点C在以AB为直径的半圆上，∠CAB的平分线AD交BC于点D，⊙O经过A、D两点，且圆心O在AB上．
（1）求证：BD是⊙O的切线．
（2）若，，求⊙O的面积．

Answer

（1）连接OD，求出∠CAD=∠OAD=∠ADO，推出OD∥AC，推出OD⊥CB，根据切线判定推出即可；
（2）根据勾股定理求出AC=，AB=4．设⊙O的半径为r，证△BOD∽△BAC，得出，代入求出r即可．
【解析】
（1）连接OD．
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∵AD平分∠CAB，
∴∠OAD=∠CAD，
∴∠ODA=∠CAD，
∴OD∥AC，
∴∠ODB=∠ACB=90°，
∴BD是⊙O的切线．

（2）∵，
∴AB=4AC，
∵BC2=AB2-AC2，
∴15AC2=80，
∴AC=，
∴AB=4．
设⊙O的半径为r，
∵OD∥AC，
∴△BOD∽△BAC，
∴
∴，解得：r=
∴πr2=π•（）2=，
∴⊙O的面积为．