Question

在平面直角坐标系xOy中，定义一种变换：使平面内的点P（x，y）对应的像为P′（ax+by，bx-ay），其中a、b为常数．己知点（2，1）经变换后的像为（1，-8）．
（1）求a，b的值；
（2）已知线段OP=2，求经变换后线段O′P′的长度（其中O′、P′分别是O、P经变换后的像，点O为坐标原点）．

Answer

（1）根据新定义运算列出关于a、b的方程组，通过解方程组来求得它们的值；
（2）根据勾股定理知OP2=x2+y2=4，由新定义变换得到O′、P′的坐标，然后由两点间的距离公式即可求得O′P′的长度．
【解析】
（1）根据题意，得
，
解得，．
即a、b的值分别是2、-3．

（2）∵OP=2，点P的坐标是（x，y），
∴根据勾股定理知，x2+y2=4．
∵O′、P′分别是O、P经变换后的像，点O为坐标原点，
∴O′（0，0），P′（2x-3y，-3x-2y），
∴O′P′====2，即经变换后线段O′P′的长度是2．