Question

已知：如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，点E、F分别在线段OB、OC上，AO=OF，AE∥DF．
求证：（1）AO=DO；
（2）四边形AEFD是矩形．

Answer

（1）由梯形ABCD是等腰梯形可知，AB=CD，∠ADC=∠DAB，故可得出△ADC≌△DAB，故∠DAC=∠ADB，故可得出结论；
（2）由（1）可知AO=DO，由于AO=OF，故DO=OF，故∠ODF=∠OFD，再由AE∥DF可知，∠EAF=∠OFD，∠AEO=∠ODF，故∠EAF=∠AEO，所以OA=OE=OD=OF，即AF=DE，故可得出结论．
证明：（1）∵梯形ABCD是等腰梯形，
在△ADC与△DAB中，
∴，
∴△ADC≌△DAB，
∴∠DAC=∠ADB，
∴AO=DO；

（2）∵AO=DO，AO=OF，
∴DO=OF，
∴∠ODF=∠OFD，
∵AE∥DF，
∴∠EAF=∠OFD，∠AEO=∠ODF，
∴∠EAF=∠AEO，
∴OA=OE=OD=OF，即AF=DE，
∴四边形AEFD是矩形．